Stochastic maximal Lp(Lq)-regularity for second order systems with periodic boundary conditions

Abstract

In this paper we consider an SPDE where the leading term is a second order operator with periodic boundary conditions, coefficients which are measurable in $(\mathit{t},\mathit{\omega })$, and Hölder continuous in space. Assuming stochastic parabolicity conditions, we prove ${\mathit{L}}^{\mathit{p}}((0,\mathit{T})\times \mathrm{\Omega },{\mathit{t}}^{\mathit{\kappa }}\mathrm{d}\mathit{t};{\mathit{H}}^{\mathit{\sigma },\mathit{q}}({\mathbb{T}}^{\mathit{d}}))$-estimates. The main novelty is that we do not require $\mathit{p}=\mathit{q}$. Moreover, we allow arbitrary $\mathit{\sigma }\in \mathbb{R}$ and weights in time. Such mixed regularity estimates play a crucial role in applications to nonlinear SPDEs which is clear from our previous work. To prove our main results we develop a general perturbation theory for SPDEs. Moreover, we prove a new result on pointwise multiplication in spaces with fractional smoothness.

Dans cet article, nous considérons une EDPS où le terme dominant est un opérateur du second ordre avec des conditions aux limites périodiques, des coefficients mesurables en $(\mathit{t},\mathit{\omega })$ et de regularité Hölderienne en espace. En supposant des conditions de parabolicité stochastique, nous prouvons des estimations de type ${\mathit{L}}^{\mathit{p}}((0,\mathit{T})\times \mathrm{\Omega },{\mathit{t}}^{\mathit{\kappa }}\mathrm{d}\mathit{t};{\mathit{H}}^{\mathit{\sigma },\mathit{q}}({\mathbb{T}}^{\mathit{d}}))$. La principale nouveauté est que nous n’avons pas besoin de $\mathit{p}=\mathit{q}$. De plus, nous autorisons $\mathit{\sigma }\in \mathbb{R}$ à être arbitraire et des poids en temps. De telles estimations de régularité mixtes jouent un rôle crucial dans les applications aux EDPS non linéaires, ce qui ressort clairement de nos travaux précédents. Pour prouver nos principaux résultats, nous développons une méthode générale perturbative pour les EDPS. De plus, nous prouvons un nouveau résultat sur la multiplication ponctuelle dans des espaces à régularité fractionnaire.