Multivariate normal approximation for traces of orthogonal and symplectic matrices

Abstract

We show that the distance in total variation between $\left(Tr\mathit{U},\frac{1}{\sqrt{2}}Tr{\mathit{U}}^2,\dots ,\frac{1}{\sqrt{\mathit{m}}}Tr{\mathit{U}}^{\mathit{m}}\right)$ and a real Gaussian vector, where U is a Haar distributed orthogonal or symplectic matrix of size $2\mathit{n}$ or $2\mathit{n}\mathbf{+}1$, is bounded by $\mathrm{\Gamma }{\left(2\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}\mathbf{+}1\right)}^{-\frac{1}{2}}$ times a correction. The correction term is explicit and holds for all $\mathit{n}\ge {\mathit{m}}^4$, for m sufficiently large. For $\mathit{n}\ge {\mathit{m}}^3$ we obtain the bound ${\left(\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}\right)}^{-\mathit{c}\sqrt{\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}}}$ with an explicit constant c. Our method of proof is based on an identity of Toeplitz + Hankel determinants due to Basor and Ehrhardt, see (Oper. Matrices 3 (2009) 167–86), which is also used to compute the joint moments of the traces.

Nous montrons que la distance en variation totale entre $\left(Tr\mathit{U},\frac{1}{\sqrt{2}}Tr{\mathit{U}}^2,\dots ,\frac{1}{\sqrt{\mathit{m}}}Tr{\mathit{U}}^{\mathit{m}}\right)$ et un vecteur gaussien réel, où U est une matrice orthogonale ou symplectique distribuée selon la mesure de Haar et de taille $2\mathit{n}$ ou $2\mathit{n}\mathbf{+}1$, est bornée par $\mathrm{\Gamma }{\left(2\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}\mathbf{+}1\right)}^{-\frac{1}{2}}$ fois une correction. Cette correction est explicite et valable pour tout $\mathit{n}\ge {\mathit{m}}^4$, pour m suffisamment grand. Lorsque $\mathit{n}\ge {\mathit{m}}^3$ nous obtenons la borne ${\left(\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}\right)}^{-\mathit{c}\sqrt{\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}}}$ où c est une constante explicite. Notre méthode de démonstration repose sur une identité de déterminants du type Toeplitz + Hankel due à Basor et Ehrhardt, voir (Oper. Matrices 3 (2009) 167–86), qui est aussi utilisée pour calculer les moments joints des traces.