The elliptic stochastic quantization of some two dimensional Euclidean QFTs

Abstract

We study a class of elliptic SPDEs with additive Gaussian noise on ${\mathbb{R}}^2\times \mathit{M}$, with M a d-dimensional manifold equipped with a positive Radon measure, and a real-valued non linearity given by the derivative of a smooth potential V, convex at infinity and growing at most exponentially. For quite general coefficients and a suitable regularity of the noise we obtain, via the dimensional reduction principle discussed in our previous paper (Ann. Probab. 48 (2020) 1693–1741), the identity between the law of the solution to the SPDE evaluated at the origin with a Gibbs type measure on an abstract Wiener space over M. The results are then applied to the elliptic stochastic quantization equation for the scalar field with polynomial interaction over ${\mathbb{T}}^2$, and with exponential interaction over ${\mathbb{R}}^2$ (known also as Høegh-Krohn or Liouville model in the literature). In particular for the exponential interaction case, the existence and uniqueness properties of solutions to the elliptic equation over ${\mathbb{R}}^{2+2}$ is derived as well as the dimensional reduction for the values of the “charge parameter” $\mathit{\sigma }=\frac{\mathit{\alpha }}{2\sqrt{\mathit{\pi }}}<\sqrt{4(8-4\sqrt{3})\mathit{\pi }}\simeq \sqrt{4.29\mathit{\pi }}$, for which the model has an Euclidean invariant, reflection positive probability measure (hence also permitting to get the corresponding relativistic invariant model on the two dimensional Minkowski space).

Nous étudions une classe d’EDPS elliptiques avec bruit gaussien additif sur ${\mathbb{R}}^2\times \mathit{M}$, où M est une variété de dimension d équipée d’une mesure de Radon positive, et avec une non-linéarité à valeurs réelles donnée par la dérivée d’un potentiel lisse V, convexe à l’infini et de croissance au plus exponentielle. Sous des conditions assez générales sur les coefficients et sur la régularité du bruit, nous obtenons par le principe de réduction dimensionnelle discuté dans notre précédent article (Ann. Probab. 48 (2020) 1693–1741), l’identité entre la loi de la solution de l’EDPS évaluée à l’origine et une mesure de type Gibbs sur un espace de Wiener abstrait sur M. Les résultats sont ensuite appliqués à l’équation de quantisation elliptique stochastique pour un champ scalaire avec des interactions polynomiales sur ${\mathbb{T}}^2$, et avec des interactions exponentielles sur ${\mathbb{R}}^2$ (un modèle connu dans la littérature sous le nom de modèle de Høegh-Krohn ou de modèle de Liouville). En particulier, pour le cas de l’interaction exponentielle, on obtient les propriétés d’existence et d’unicité des solutions à l’équation elliptique sur ${\mathbb{R}}^{2+2}$, ainsi que la réduction dimensionnelle pour les valeurs du « paramètre de charge » $\mathit{\sigma }=\frac{\mathit{\alpha }}{2\sqrt{\mathit{\pi }}}<\sqrt{4(8-4\sqrt{3})\mathit{\pi }}\simeq \sqrt{4.29\mathit{\pi }}$, pour lesquels le modèle a une mesure de probabilité euclidienne invariante et réflexion-positive (ce qui permet ainsi d’obtenir le modèle invariant relativiste correspondant sur l’espace de Minkowski de dimension 2).