Tube estimates for diffusions under a local strong Hörmander condition

Abstract

We study lower and upper bounds for the probability that a diffusion process in $\mathbb{R}^{n}$ remains in a tube around a deterministic skeleton path up to a fixed time. The diffusion coefficients $\sigma_{1},\ldots,\sigma_{d}$ may degenerate, but we assume that they satisfy a strong Hörmander condition involving the first order Lie brackets around the skeleton of interest. The tube is written in terms of a norm which accounts for the non-isotropic structure of the problem: in a small time $\delta$, the diffusion process propagates with speed $\sqrt{\delta}$ in the direction of the diffusion vector fields $\sigma_{j}$ and with speed $\delta$ in the direction of $[\sigma_{i},\sigma_{j}]$. We first prove short-time (non-asymptotic) lower and upper bounds for the density of the diffusion. Then, we prove the tube estimate using a concatenation of these short-time density estimates.

On étudie des bornes inférieures et supérieures pour la probabilité qu’un processus de diffusion dans $R^{n}$ reste dans un petit tube autour d’un squelette déterministe jusqu’à un temps fixé. Les coefficients de diffusion $\sigma_{1},\dots,\sigma_{d}$ peuvent dégénérer, mais on suppose qu’ils satisfont à une condition d’Hörmander forte sur les coefficients et leurs crochets de Lie de premier ordre autour du squelette d’intérêt. Le tube est écrit en termes d’une norme qui prend en compte la structure non isotrope du problème: en temps $\delta$ petit, le processus de diffusion se propage avec vitesse $\sqrt{\delta}$ dans la direction des vecteurs de diffusion $\sigma_{j}$ et avec vitesse $\delta$ dans la direction de $[\sigma_{i},\sigma_{j}]$. On prouve d’abord des bornes inférieures et supérieures en temps court (non asymptotiques) pour la densité de la diffusion. Ensuite, on prouve l’estimée de tube en utilisant une concaténation de ces estimées de densité en temps court.