We study Bernoulli percolations on random maps in the half-plane obtained as local limit of uniform planar triangulations or quadrangulations. Using the characteristic spatial Markov property or peeling process (Geom. Funct. Anal. 13 (2003) 935–974) of these random maps we prove a surprisingly simple universal formula for the critical threshold for bond and face percolations on these graphs. Our techniques also permit us to compute off-critical and critical annealed exponents related to percolation clusters such as the probabilities of a cluster having a large volume or perimeter.

Nous étudions différentes percolations de Bernoulli sur les cartes aléatoires du demi-plan obtenues comme limites locales de triangulations ou quadrangulations planaires uniformes. En utilisant la propriété de Markov spatiale – ou épluchage (Geom. Funct. Anal. 13 (2003) 935–974) – de ces réseaux, nous prouvons une formule simple et universelle pour le paramètre critique de percolation par arêtes ou par sites sur ces cartes. Nos techniques nous permettent également de calculer certains exposants « annealed » presque-critiques et critiques comme la probabilité qu’un cluster ait un grand volume ou un grand périmètre.

We discuss the scaling limit of large planar quadrangulations with a boundary whose length is of order the square root of the number of faces. We consider a sequence $(\sigma_{n})$ of integers such that $\sigma_{n}/\sqrt{2n}$ tends to some $\sigma\in[0,\infty]$. For every $n\ge1$, we denote by $\mathfrak{q}_{n}$ a random map uniformly distributed over the set of all rooted planar quadrangulations with a boundary having $n$ faces and $2\sigma_{n}$ half-edges on the boundary. For $\sigma\in(0,\infty)$, we view $\mathfrak{q}_{n}$ as a metric space by endowing its set of vertices with the graph metric, rescaled by $n^{-1/4}$. We show that this metric space converges in distribution, at least along some subsequence, toward a limiting random metric space, in the sense of the Gromov–Hausdorff topology. We show that the limiting metric space is almost surely a space of Hausdorff dimension $4$ with a boundary of Hausdorff dimension $2$ that is homeomorphic to the two-dimensional disc. For $\sigma=0$, the same convergence holds without extraction and the limit is the so-called Brownian map. For $\sigma=\infty$, the proper scaling becomes $\sigma_{n}^{-1/2}$ and we obtain a convergence toward Aldous’s CRT.

On s’intéresse à la limite d’échelle de grandes quadrangulations planaires à bord dont la longueur du bord est de l’ordre de la racine carrée du nombre de faces. On considère une suite $(\sigma_{n})$ d’entiers telle que $\sigma_{n}/\sqrt{2n}$ tende vers un certain $\sigma\in[0,\infty]$. Pour tout $n\ge1$, on note $\mathfrak{q}_{n}$ une carte aléatoire uniformément distribuée dans l’ensemble des quadrangulations planaires enracinées à bord ayant $n$ faces internes et $2\sigma_{n}$ demi-arêtes sur le bord. Dans le cas où $\sigma\in(0,\infty)$, on voit $\mathfrak{q}_{n}$ comme un espace métrique en munissant l’ensemble de ses sommets de la distance de graphe, renormalisée par le facteur $n^{-1/4}$. On montre que cet espace métrique converge en loi, tout du moins le long d’une sous-suite, vers un espace métrique limite aléatoire, au sens de la topologie de Gromov–Hausdorff. On montre que l’espace métrique limite est presque sûrement un espace de dimension de Hausdorff $4$ ayant un bord de dimension $2$ qui est homéomorphe au disque de dimension $2$. Pour $\sigma=0$, on a également la même convergence mais cette fois-ci, l’extraction d’une sous-suite n’est plus nécessaire et la limite est l’espace métrique connu sous le nom de carte brownienne. Pour $\sigma=\infty$, le bon facteur d’échelle devient $\sigma_{n}^{-1/2}$ et on a convergence vers l’arbre continu brownien d’Aldous.

Imagine a graph which is progressively destroyed by cutting its edges one after the other in a uniform random order. The so-called cut-tree records key steps of this destruction process. It can be viewed as a random metric space equipped with a natural probability mass. In this work, we show that the cut-tree of a random recursive tree of size $n$, rescaled by the factor $n^{-1}\ln n$, converges in probability as $n\to\infty$ in the sense of Gromov–Hausdorff–Prokhorov, to the unit interval endowed with the usual distance and Lebesgue measure. This enables us to explain and extend some recent results of Kuba and Panholzer (Multiple isolation of nodes in recursive trees (2013) Preprint) on multiple isolation of nodes in large random recursive trees.

Imaginons la destruction progressive d’un graphe auquel on retire ses arêtes une à une dans un ordre aléatoire uniforme. Le “cut-tree” permet de coder les étapes essentielles du processus de destruction; il peut être vu comme un espace métrique aléatoire muni d’une mesure de probabilité naturelle. Dans cet article, nous montrons que le cut-tree d’un arbre récursif aléatoire de taille $n$, et renormalisé par un facteur $n^{-1}\ln n$, converge en probabilité quand $n\to\infty$ au sens de Gromov–Hausdorff–Prokhorov, vers l’intervale unité muni de la distance usuelle et de la mesure de Lebesgue. Ceci nous permet d’expliquer et d’étendre des résultats récents de Kuba and Panholzer (Multiple isolation of nodes in recursive trees (2013) Preprint) sur l’isolation multiple de sommets dans un grand arbre récursif aléatoire.

We study a particular type of subcritical Galton–Watson trees, which are called non-generic trees in the physics community. In contrast with the critical or supercritical case, it is known that condensation appears in certain large conditioned non-generic trees, meaning that with high probability there exists a unique vertex with macroscopic degree comparable to the total size of the tree. Using recent results concerning subexponential distributions, we investigate this phenomenon by studying scaling limits of such trees and show that the situation is completely different from the critical case. In particular, the height of such trees grows logarithmically in their size. We also study fluctuations around the condensation vertex.

Nous étudions une classe particulière d’arbres de Galton–Watson sous-critiques, appelés arbres non-génériques en physique. Contrairement au cas critique ou surcritique, il est connu qu’une condensation apparaît dans certains grands arbres non-génériques conditionnés, c’est-à-dire qu’avec grande probabilité il existe un unique sommet de degré macroscopique comparable à la taille totale de l’arbre. En utilisant des résultats récents relatifs à des lois sousexponentielles, nous étudions ce phénomène en étudiant les limites d’échelles de tels arbres et montrons que la situation est complètement différente du cas critique. En particulier, la hauteur de ces arbres croît logarithmiquement en leur taille. Nous étudions aussi les fluctuations autour du sommet de condensation.

We obtain scaling limits for Markov branching trees whose size is specified by the number of nodes whose out-degree lies in a given set. This extends recent results of Haas and Miermont in (Ann. Probab. 40 (2012) 2589–2666), which considered the case when the size of a tree is either its number of leaves or its number of vertices. We use our result to prove that the scaling limit of finite variance Galton–Watson trees conditioned on the number of nodes whose out-degree lies in a given set is the Brownian continuum random tree. The key to applying our result for Markov branching trees to conditioned Galton–Watson trees is a generalization of the classical Otter–Dwass formula. This is obtained by showing that the number of vertices in a Galton–Watson tree whose out-degree lies in a given set is distributed like the number of vertices in a Galton–Watson tree with a related offspring distribution.

Nous obtenons des limites d’échelle pour des arbres branchants markoviens dont la taille est égale au nombre de noeuds dont le degré sortant appartient à un ensemble fixé. Ceci étend des résultats récents de Haas et Miermont dans (Ann. Probab. 40 (2012) 2589–2666), qui ont considéré le cas où la taille d’un arbre est le nombre de ses feuilles ou le nombre des sommets. Nous utilisons nos résultats pour prouver que la limite d’échelle d’arbres de Galton–Watson conditionnés par le nombre de noeuds dont le degré sortant appartient à un ensemble donné est l’arbre brownien continu. La clé pour appliquer notre résultat pour les arbres branchants markoviens à des arbres de Galton–Watson conditionnés est une généralisation de la formule classique de Otter–Dwass. Ceci est obtenu en montrant que le nombre de sommets d’un arbre de Galton–Watson dont le degré sortant appartient à un ensemble donné est distribué comme le nombre de sommets dans un arbre de Galton–Watson avec une loi de reproduction appropriée.

We construct, on a single probability space, a class of regenerative sets $\mathcal{R}^{(\alpha)}$, indexed by all measurable functions $\alpha:[0,1]\to[0,1]$. For each function $\alpha$, $\mathcal{R}^{(\alpha)}$, has the law of the range of a special subordinator. Constant functions correspond to stable subordinators. If $\alpha\leq\beta$, then $\mathcal{R}^{(\alpha)}\subset\mathcal{R}^{(\beta)}$. Other examples of special subordinators are given in the lattice case.

Nous construisons, sur un unique espace de probabilités, une famille d’ensembles régénératifs $\mathcal{R}^{(\alpha)}$, indexée par toutes les fonctions mesurables $\alpha:[0,1]\to[0,1]$. Pour une fonction donnée $\alpha$, l’ensemble $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ a même loi que l’image d’un subordinateur spécial. Les fonctions constantes correspondent aux subordinateurs stables. Si $\alpha\leq\beta$, on a $\mathcal{R}^{(\alpha)}\subset\mathcal{R}^{(\beta)}$. D’autres exemples de subordinateurs spéciaux sont donnés dans le cas discret.

We consider weak invariance principles (functional limit theorems) in the domain of a stable law. A general result is obtained on lifting such limit laws from an induced dynamical system to the original system. An important class of examples covered by our result are Pomeau–Manneville intermittency maps, where convergence for the induced system is in the standard Skorohod $\mathcal{J}_{1}$ topology. For the full system, convergence in the $\mathcal{J}_{1}$ topology fails, but we prove convergence in the $\mathcal{M}_{1}$ topology.

Nous considérons des principes d’invariance faibles (théorèmes limites fonctionnels) dans le domaine d’une loi stable. Un résultat général est obtenu en relevant de telles lois limites depuis un système dynamique induit vers le système original. Une classe importante d’exemples couverte par notre résultat est donnée par les transformations intermittentes à la Pomeau–Manneville, où la convergence pour le système induit est dans la topologie $\mathcal{J}_{1}$ de Skorohod standard. Pour le système complet, il n’y a pas de convergence dans la topologie $\mathcal{J}_{1}$, mais nous prouvons la convergence dans la topologie $\mathcal{M}_{1}$.

In a previous paper, the authors proved a conjecture of Lalley and Sellke that the empirical (time-averaged) distribution function of the maximum of branching Brownian motion converges almost surely to a Gumbel distribution. The result is extended here to the entire system of particles that are extremal, i.e. close to the maximum. Namely, it is proved that the distribution of extremal particles under time-average converges to a Poisson cluster process.

Dans un article précédent, les auteurs ont démontré une conjecture de Lalley et Sellke stipulant que la loi empirique (en faisant la moyenne sur les temps) du maximum du mouvement brownien branchant converge presque sûrement vers une loi de Gumbel. Ce résultat est généralisé ici au système de particules extrémales, c’est-à-dire celles se situant près du maximum. Précisément, il est démontré que la loi conjointe empirique des positions des particules extrémales converge vers la loi d’un processus poissonien de nuages.

We construct a measure-valued equivalent to the spatial $\varLambda $-Fleming–Viot process (SLFV) introduced in (Banach Center Publ. 80 (2008) 121–144). In contrast with the construction carried out there, we fix the realization of the sequence of reproduction events and obtain a quenched evolution of the local genetic diversities. To this end, we use a particle representation which highlights the role of the genealogies in the attribution of types (or alleles) to the individuals of the population. This construction also enables us to clarify the state-space of the SLFV and to derive several path properties of the measure-valued process as well as of the labeled trees describing the genealogical relations between a sample of individuals. We complement it with a look-down construction which provides a particle system whose empirical distribution at time $t$, seen as a process in $t$, has the law of the quenched SLFV. In all these results, the facts that we work with a fixed configuration of events and that reproduction occurs only locally in space introduce serious technical issues that are overcome by controlling the number of events occurring and of particles present in a given area over macroscopic time intervals.

Nous construisons un processus à valeurs mesures équivalent au processus $\varLambda $-Fleming–Viot spatial (SLFV) introduit dans (Banach Center Publ. 80 (2008) 121–144). Contrairement à la construction effectuée dans (Banach Center Publ. 80 (2008) 121–144), nous fixons une réalisation de la suite d’événements de reproduction et obtenons une évolution quenched des diversités génétiques locales. Pour ce faire, nous utilisons une représentation particulaire qui met en avant le rôle des généalogies dans l’attribution des types (ou allèles) aux individus de la population. Cette construction nous permet également de clarifier l’espace d’états du SLFV et d’obtenir plusieurs propriétés trajectorielles du processus à valeurs mesures, ainsi que des arbres étiquetés qui décrivent les relations généalogiques liant un échantillon d’individus. Nous complétons ces résultats avec une construction look-down fournissant un système de particules dont la mesure empirique au temps $t$, vue comme un processus en $t$, a même loi que le SLFV quenched. Dans tous ces résultats, le fait que nous travaillions à configuration d’événements fixée et que les reproductions ne se produisent que localement (en espace) introduisent de sérieuses difficultés techniques qui sont surmontées en contrôlant le nombre d’événements et de particules présentes dans une zone donnée de l’espace pendant un laps de temps macroscopique.

In 1964 R. Gangolli published a Lévy–Khintchine type formula which characterised $K$-bi-invariant infinitely divisible probability measures on a symmetric space $G/K$. His main tool was Harish-Chandra’s spherical functions which he used to construct a generalisation of the Fourier transform of a measure. In this paper we use generalised spherical functions (or Eisenstein integrals) and extensions of these which we construct using representation theory to obtain such a characterisation for arbitrary infinitely divisible probability measures on a non-compact symmetric space. We consider the example of hyperbolic space in some detail.

R. Gangolli (1964) publia une formule du type Lévy–Khintchine, caractérisant les probabilités infiniment divisibles $K$-bi-invarantes sur un espace symétrique $G/K$. Son outil principal fut les fonctions sphériques de Harish-Chandra qu’il utilisa pour construire une généralisation de la transformée de Fourier d’une mesure. Dans cet article, on se sert des fonctions sphériques généralisées (les intégrales d’Eisenstein) de leurs généralisations, que l’on construit à partir de la théorie de représentations, pour obtenir une telle caractérisation pour les probabilités quelquonques infiniment divisibles sur un espace symétrique non-compact. On considère, en détail, le cas de l’espace hyperbolique.

Smooth linear statistics of random permutation matrices, sampled under a general Ewens distribution, exhibit an interesting non-universality phenomenon. Though they have bounded variance, their fluctuations are asymptotically non-Gaussian but infinitely divisible. The fluctuations are asymptotically Gaussian for less smooth linear statistics for which the variance diverges. The degree of smoothness is measured in terms of the quality of the trapezoidal approximations of the integral of the observable.

Les statistiques linéaires d’observables régulières du spectre de matrices de permutations, choisies aléatoirement sous une distribution générale de Ewens, donnent lieu à un phénomène intéressant de non-universalité. Bien qu’elles aient une variance bornée, leurs fluctuations ne sont pas asymptotiquement Gaussiennes, mais infiniment divisibles. Si l’observable est moins régulière, la variance diverge et les fluctuations sont Gaussiennes. Le degré de régularité est mesuré en termes de la qualité de l’approximation trapézoidale de l’intégrale de l’observable.

Let $T$ be a random field invariant under the action of a compact group $G$. In the line of previous work we investigate properties of the Fourier coefficients as orthogonality and Gaussianity. In particular we give conditions ensuring that independence of the random Fourier coefficients implies Gaussianity. As a consequence, in general, it is not possible to simulate a non-Gaussian invariant random field through its Fourier expansion using independent coefficients.

Soit $T$ un champ aléatoire invariant par rapport à l’action d’un groupe compact $G$. On étudie les propriétés de ses coefficients de Fourier telles que l’orthogonalité et la gaussianité. En particulier on établit des conditions qui garantissent que l’indépendance de ces coefficients entraîne qu’ils sont gaussiens. Une conséquence remarquable est que, en général, il n’est pas possible de générer par simulation un champ aléatoire non gaussien invariant à l’aide de son développement par des coefficients indépendants.

For the site percolation model on the triangular lattice and certain generalizations for which Cardy’s Formula has been established we acquire a power law estimate for the rate of convergence of the crossing probabilities to Cardy’s Formula.

Dans le modèle de percolation sur le réseau triangulaire et pour certaines généralisations pour lesquelles la formule de Cardy a été établie, nous démontrons un taux de convergence en loi de puissance des probabilités de percolation vers la formule de Cardy.

We prove that, on $\mathbb{Z}^{d}$, random walks in i.i.d. Dirichlet environment – or equivalently oriented-edge reinforced random walks – have almost surely an asymptotic direction equal to the direction of the initial drift, i.e. $\frac{X_{n}}{\|X_{n}\|}$ converges to $\frac{E_{o}[X_{1}]}{\|E_{o}[X_{1}]\|}$ as $n\to\infty$, unless this drift is zero. This is obtained by generalizing the result of directional transience from (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 47 (2011) 1–8). In addition, we identify the exact value or distribution of certain probabilities, answering and generalizing a conjecture of that paper.

On démontre que, dans $\mathbb{Z}^{d}$, les marches aléatoires en milieu aléatoire i.i.d. de Dirichlet – ou, de façon équivalente, les marches renforcées par arêtes orientées – ont presque sûrement une direction asymptotique égale à la direction de la dérive initiale, c’est-à-dire que $\frac{X_{n}}{\|X_{n}\|}$ converge vers $\frac{E_{o}[X_{1}]}{\|E_{o}[X_{1}]\|}$ quand $n\to\infty$, à moins que cette dérive soit nulle. Ceci est obtenu en généralisant le résultat de transience directionnelle de (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 47 (2011) 1–8). De plus, on explicite la valeur ou la loi de certaines probabilités, ce qui démontre et généralise une conjecture de ce dernier article.

We consider a model for random walks on random environments (RWRE) with a random subset of ${\mathbb{Z} }^{d}$ as the vertices, and uniform transition probabilities on $2d$ points (the closest in each of the coordinate directions). We prove that the velocity of such random walks is almost surely zero, give partial characterization of transience and recurrence in the different dimensions and prove a Central Limit Theorem (CLT) for such random walks, under a condition on the distance between coordinate nearest neighbors.

Nous considérons un modèle de marches aléatoires en milieu aléatoire ayant pour sommets un sous-ensemble aléatoire de ${\mathbb{Z} }^{d}$ et une probabilité de transition uniforme sur $2d$ points (les plus proches voisins dans chacune des directions des coordonnées). Nous prouvons que la vitesse de ce type de marches est presque sûrement zéro, donnons une caractérisation partielle de transience et récurrence dans les différentes dimensions et prouvons un théorème central limite (CLT) pour de telles marches sous une condition concernant la distance entre plus proches voisins.

We study the simple random walk on the giant component of a supercritical Erdős–Rényi random graph on $n$ vertices, in particular the so-called vacant set at level $u$, the complement of the trajectory of the random walk run up to a time proportional to $u$ and $n$. We show that the component structure of the vacant set exhibits a phase transition at a critical parameter $u_{\star}$: For $u<u_{\star}$ the vacant set has with high probability a unique giant component of order $n$ and all other components small, of order at most $\log^{7}n$, whereas for $u>u_{\star}$ it has with high probability all components small. Moreover, we show that $u_{\star}$ coincides with the critical parameter of random interlacements on a Poisson–Galton–Watson tree, which was identified in (Electron. Commun. Probab. 15 (2010) 562–571).

Nous étudions la marche aléatoire sur la composante principale d’un graphe aléatoire d’Erdős–Rényi avec $n$ sommets, en particulier l’ensemble vacant au niveau $u$, le complément de la trajectoire de la marche aléatoire jusqu’à un moment proportionnel à $u$ et $n$. Nous prouvons que la structure de composant montre une transition de phase à un valeur critique $u_{\star}$ : Pour $u<u_{\star}$ l’ensemble vacant se compose, avec une forte probabilité quand $n$ croît, d’une seule composante principale avec volume d’ordre $n$ et des composantes petites d’ordre au plus $\log^{7}n$, alors que pour $u>u_{\star}$ tous les composants sont petits. En outre nous montrons que $u_{\star}$ coïncide avec le paramètre critique des entrelacs aléatoires sur un arbre de Poisson–Galton–Watson identifié en (Electron. Commun. Probab. 15 (2010) 562–571).

We give a spectral approach to prove a parametric first-order Edgeworth expansion for bivariate additive functionals of strongly ergodic Markov chains. In particular, given any $V$-geometrically ergodic Markov chain $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ whose distribution depends on a parameter $\theta$, we prove that $\{\xi_{p}(X_{n-1},X_{n});p\in\mathcal{P} ,n\geq1\}$ satisfies a uniform (in $(\theta,p)$) first-order Edgeworth expansion provided that $\{\xi_{p}(\cdot,\cdot);p\in\mathcal{P} \}$ satisfies some non-lattice condition and an almost optimal moment domination condition. Furthermore, the sequence $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ need not be stationary. This result is applied to $M$-estimators of Markov chains and in particular of $V$-geometrically ergodic Markov chains. The $M$-estimators of some autoregressive processes are studied.

Grâce à une approche spectrale, nous donnons des conditions assurant la validité du développement d’Edgeworth d’ordre 1 paramétrique, dans le cadre général des fonctionnelles bivariées et additives de chaînes de Markov fortement ergodiques. En particulier, soit $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ une chaîne de Markov $V$-géométriquement ergodique dont la loi dépend d’un paramètre $\theta$. Nous montrons alors que $\{\xi_{p}(X_{n-1},X_{n});p\in\mathcal{P} ,n\geq1\}$ satisfait un développement d’Edgeworth d’ordre 1 uniforme (en $(\theta,p)$) si $\{\xi_{p}(\cdot,\cdot);p\in\mathcal{P} \}$ satisfait une condition de type non-lattice ainsi qu’une condition quasi-optimale de moment-domination. De plus, ce résultat est établi dans le cas où les données $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ ne sont pas nécessairement stationnaires. Ce résultat est appliqué en particulier aux $M$-estimateurs associés à des chaînes de Markov $V$-géométriquement ergodiques. Les $M$-estimateurs de processus autorégressifs sont étudiés.