Infinite dimensional reflecting Ornstein-Uhlenbeck stochastic process on non-convex open sets

Abstract

In this article we introduce the Gaussian Sobolev space $W^{1,2}(\mathscr{O}, \gamma )$, where $\mathscr{O}$ is an arbitrary open set of a separable Banach space $E$ endowed with a non-degenerate centered Gaussian measure $\gamma$. Moreover, we investigate the semi-martingale structure of the infinite dimensional reflecting Ornstein-Uhlenbeck process for open sets of the form $\mathscr{O} = \{x \in E : G(x) \lt 0\}$, where $G$ is some Borel function on $E$.

Dans cette article on commence par introduire les espaces de Sobolev Gaussiens$W^{1,2}(\mathscr{O}, \gamma)$, où $\mathscr{O}$ est un ouvert quelconque d'un espace de Banach séparable $E$ muni d'une mesure gaussienne $\gamma$ centrée et non-dégénérée. En plus, on montre que le processus d'Ornstein-Uhlenbeck réfléchi en dimension infinie admet une décomposition en tant que semi-martaingale pour des ouverts de la forme $\mathscr{O} = \{x \in E : G(x) \lt 0\}$, où $G$ est une fonction borélienne sur $E$.