A growth-fragmentation model related to Ornstein–Uhlenbeck type processes

Abstract

Growth-fragmentation processes describe systems of particles in which each particle may grow larger or smaller, and divide into smaller ones as time proceeds. Unlike previous studies, which have focused mainly on the self-similar case, we introduce a new type of growth-fragmentation which is closely related to Lévy driven Ornstein–Uhlenbeck type processes. Our model can be viewed as a generalization of compensated fragmentation processes introduced by Bertoin, or the stochastic counterpart of a family of growth-fragmentation equations. We establish a convergence criterion for a sequence of such growth-fragmentations. We also prove that, under certain conditions, this system fulfills a law of large numbers.

Les processus de croissance-fragmentation étudient l’évolution au cours du temps de systèmes de particules, dans lesquels la taille de chaque particule peut croître et décroître, les particules pouvant parfois se fragmenter. Contrairement aux études précédentes, qui se sont concentrées principalement sur les cas auto-similaires, nous introduisons un nouveau modèle qui est associé aux processus d’Ornstein–Uhlenbeck liés aux processus de Lévy. Notre modèle peut être vu comme une généralisation des processus de fragmentation compensés introduits par Bertoin, ou la contrepartie stochastique d’une famille d’équations de croissance-fragmentation. Nous établissons un critère de convergence pour une suite de telles croissance-fragmentations, et une loi des grands nombres dans un cas particulier.