Near-minimal spanning trees: A scaling exponent in probability models

Abstract

We study the relation between the minimal spanning tree (MST) on many random points and the “near-minimal” tree which is optimal subject to the constraint that a proportion δ of its edges must be different from those of the MST. Heuristics suggest that, regardless of details of the probability model, the ratio of lengths should scale as 1+Θ(δ²). We prove this scaling result in the model of the lattice with random edge-lengths and in the Euclidean model.

Nous étudions la relation entre l’arbre couvrant minimal (ACM) sur des points aléatoires et l’arbre “quasi” optimal sous la contrainte qu’une proportion δ de ses arêtes soit différente de celles de l’ACM. Un raisonnement heuristique suggère que quelque soit le modèle probabiliste sous-jacent, le ratio des longueurs des deux arbres doit varier en 1+Θ(δ²). Nous montrons ce résultat d’échelle pour le modèle de la grille avec des longueurs d’arêtes aléatoires et pour le modèle Euclidien.