Représentations galoisiennes p-adiques et (φ,τ)-modules

Abstract

Étant donné un nombre premier impair $p$ et un corps $p$-adique $K$, on développe dans cet article un analogue de la théorie des $(\phi ,\Gamma )$-modules de Fontaine en remplaçant la $p$-extension cyclotomique par l’extension $K_{\infty }$ de $K$ obtenue en ajoutant un système compatible de racines $p^n$-ièmes d’une uniformisante $\pi$ fixée. Ceci nous conduit à une nouvelle classification des représentations $p$-adiques de $G_K=Gal(\mathrm{K̄}/K)$ via des $(\phi ,\tau )$-modules. Nous établissons ensuite un lien entre la théorie des $(\phi ,\tau )$-modules à celle des $(\phi ,N_{\nabla })$-modules de Kisin. Comme corollaire, nous répondons à une question de Tong Liu en démontrant que, lorsque $K$ est une extension finie de ${\mathbb{Q}}_p$, toute représentation de $E\left(u\right)$-hauteur finie de $G_K$ est potentiellement semi-stable.

Let $p$ be an odd prime number, and let $K$ be a $p$-adic field. In this paper, we develop an analogue of Fontaine’s theory of $(\phi ,\Gamma )$-modules replacing the $p$-cyclotomic extension by the extension $K_{\infty }$ obtained by adding to $K$ a compatible system of $p^n$-th roots of a fixed uniformizer $\pi$ of $K$. As a result, we obtain a new classification of $p$-adic representations of $G_K=Gal(\mathrm{K̄}/K)$ by some $(\phi ,\tau )$-modules. We then make a link between the theory of $(\phi ,\tau )$-modules discussed above and the so-called theory of $(\phi ,N_{\nabla })$-modules developed by Kisin. As a corollary, we answer a question of Tong Liu: we prove that, if $K$ is a finite extension of ${\mathbb{Q}}_p$, then every representation of $G_K$ of $E\left(u\right)$-finite height is potentially semistable.