Théorie de Lubin–Tate non abélienne ℓ-entière

Abstract

Pour deux nombres premiers distincts $\ell$ et $p$, nous étudions la ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-cohomologie des tours de Lubin–Tate d’un corps $p$-adique. Nous prouvons tout d’abord qu’elle réalise des correspondances de type Langlands et Jacquet–Langlands pour des familles plates de representations irréductibles supercuspidales paramétrées par une ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-algèbre $R$. Lorsque $R={\overline{\mathbb{F}}}_{\ell }$ on obtient une réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands–Vignéras, et une nouvelle preuve de son existence. Pour $R$ une algèbre locale, on obtient des correspondances entre déformations de ${\overline{\mathbb{F}}}_{\ell }$-représentations. Par ailleurs nous obtenons, pour toutes les ${\overline{\mathbb{F}}}_{\ell }$-représentations admissibles irréductibles, une réalisation virtuelle de la correspondance de Langlands–Vignéras semi-simple et du transfert de Langlands–Jacquet, en utilisant le complexe de cohomologie et en travaillant dans une catégorie dérivée convenable.

For two primes $\ell \ne p$, we investigate the ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-cohomology of the Lubin–Tate towers of a $p$-adic field. We prove that it realizes some version of Langlands and Jacquet–Langlands correspondences for flat families of irreducible supercuspidal representations parameterized by a ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-algebra $R$ in a way compatible with the extension of scalars. Applied to $R={\overline{\mathbb{F}}}_{\ell }$, this gives a cohomological realization of the Langlands–Vigneras correspondence for supercuspidals and a new proof of its existence. Applied to complete local algebras, this provides bijections between deformations of matching ${\overline{\mathbb{F}}}_{\ell }$-representations. Besides, we also get a virtual realization of both the semi-simple Langlands–Vigneras correspondence and the $\ell$-modular Langlands–Jacquet transfer for all representations, by using the cohomology complex and working in a suitable Grothendieck group.