Principe variationnel et groupes Kleiniens

Abstract

Soit Γ un groupe Kleinien non élémentaire agissant sur une variété de Cartan-Hadamard $\tilde X$; on note Λ(Γ) l'ensemble non-errant du flot géodésique (φ_t) agissant sur le fibré unitaire tangent T¹($\tilde{X}$/Γ). Lorsque Γ est convexe cocompact (i.e. Λ(Γ) est compact), la restriction de (φ_t) à Λ(Γ) est un flot Axiom A : ainsi, d'après un théorème de Bowen-Ruelle, il existe sur Λ(Γ) une unique mesure de probabilité d'entropie maximale, invariante sous l'action de (φ_t). Dans cet article, nous nous affranchissons de l'hypothèse de compacité de Λ(Γ) et étudions le cas où Γ est quelconque. Nous montrons que la restriction de (φ_t) à Λ(Γ) admet une mesure de probabilité d'entropie maximale si et seulement si la mesure de Patterson-Sullivan est finie; de plus, lorsque la mesure de Patterson-Sullivan est finie, c'est l'unique mesure d'entropie maximale pour le flot géodésique.

Let Γ be a nonelementary Kleinian group acting on a Cartan-Hadamard manifold $\tilde{X}$; denote by Λ(Γ) the nonwandering set of the geodesic flow (φ_t) acting on the unit tangent bundle T¹($\tilde{X}$/Γ). When Γ is convex cocompact (i.e., Λ(Γ) is compact), the restriction of (φ_t) to Λ(Γ) is an Axiom A flow: therefore, by a theorem of Bowen and Ruelle, there exists a unique invariant measure on Λ(Γ) which has maximal entropy. In this paper, we study the case of an arbitrary Kleinian group Γ. We show that there exists a measure of maximal entropy for the restriction of(φ_t) to Λ(Γ) if and only if the Patterson-Sullivan measure is finite; furthermore when this measure is finite, it is the unique measure of maximal entropy.

By a theorem of Handel and Kitchens, the supremum of the measure-theoretic entropies equals the infimum of the entropies of the distances d on Λ(X); when Γ is geometrically finite, we show that this infimum is achieved by the Riemannian distance d on Λ(X).