The critical tree of a renormalization model as a growth-fragmentation process

Abstract

We study a branching system which describes the evolution indexed by a continuous time parameter ranging in $[0,1)$ of a population of cells; the size of each cell increases deterministically and linearly except when the cell splits into two daughter cells. The system appears as the scaling limit of the critical tree in the family of hierarchical renormalization models studied in (J. Stat. Phys. 156 (2014) 268–290), conditioned on survival; it is also a growth-fragmentation process in the sense of Bertoin (Bernoulli 23 (2017) 1082–1101). We are interested in the empirical measure of the process representing the sizes of the cells that are alive at time $\mathit{t}\in [0,1)$, and establish a general result, called the master formula, for exponential functionals of the empirical measure. The formula allows to determine the joint distribution of the sum of cell sizes and the number of cells at time t, which improves a previous result by Hu, Mallein and Pain (Comm. Math. Phys. 375 (2020) 605–651) who proved joint weak convergence of these two quantities when $\mathit{t}\to 1^{-}$. The main result in our paper, established also relying on the master formula, is a law of large numbers for the empirical measure when $\mathit{t}\to 1^{-}$, the limiting distribution explicitly identified. Our system can be viewed as an exactly solvable example of a growth-fragmentation process.

Nous étudions un système de branchement qui décrit l’évolution d’une population de cellules ; le paramètre de temps est à valeurs dans $[0,1)$ ; la taille de chaque cellule augmente de façon déterministe et linéaire sauf lorsque la cellule se divise en deux cellules filles. Le système apparaît comme la limite d’échelle de l’arbre critique conditionné par la survie d’une famille de modèles de renormalisation hiérarchiques étudiés dans (J. Stat. Phys. 156 (2014) 268–290) ; c’est aussi un processus de croissance-fragmentation au sens de Bertoin (Bernoulli 23 (2017) 1082–1101). Nous nous intéressons à la mesure empirique du processus ponctuel représentant les tailles des cellules vivant au temps $\mathit{t}\in [0,1)$ et nous établissons un résultat général, appelé formule maîtresse, pour les fonctionnelles exponentielles de la mesure empirique. La formule permet de déterminer la distribution conjointe de la somme des tailles des cellules et du nombre de cellules au temps t, ce qui améliore un résultat précédent de Hu, Mallein et Pain (Comm. Math. Phys. 375 (2020) 605–651) ayant prouvé la convergence en loi jointe de ces deux quantités lorsque $\mathit{t}\to 1^{-}$. Le résultat principal de notre article, qui est établi via la formule maîtresse, est une loi des grands nombres pour la mesure empirique lorsque $\mathit{t}\to 1^{-}$, la loi limite étant explicitement identifiée. Notre système peut être considéré comme un exemple exactement soluble d’un processus de croissance-fragmentation.