Sharp high-dimensional central limit theorems for log-concave distributions

Abstract

Let ${\mathit{X}}_1,\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}$ be i.i.d. log-concave random vectors in ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ with mean 0 and covariance matrix Σ. We study the problem of quantifying the normal approximation error for $\mathit{W}={\mathit{n}}^{-1/2}{\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}$ with explicit dependence on the dimension d. Specifically, without any restriction on Σ, we show that the approximation error over rectangles in ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ is bounded by $\mathit{C}{({log}^{13}(\mathit{d}\mathit{n})/\mathit{n})}^{1/2}$ for some universal constant C. Moreover, if the Kannan–Lovász–Simonovits (KLS) spectral gap conjecture is true, this bound can be improved to $\mathit{C}{({log}^3(\mathit{d}\mathit{n})/\mathit{n})}^{1/2}$. This improved bound is optimal in terms of both n and d in the regime $log\mathit{n}=\mathit{O}(log\mathit{d})$. We also give p-Wasserstein bounds with all $\mathit{p}\ge 1$ and a Cramér type moderate deviation result for this normal approximation error, and they are all optimal under the KLS conjecture. To prove these bounds, we develop a new Gaussian coupling inequality that gives almost dimension-free bounds for projected versions of p-Wasserstein distance for every $\mathit{p}\ge 1$. We prove this coupling inequality by combining Stein’s method and Eldan’s stochastic localization procedure.

Soient ${\mathit{X}}_1,\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}$ des vecteurs aléatoires log-concaves i.i.d. à valeurs dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, centrées et de matrice de covariance Σ. Nous étudions le problème de quantification de l’erreur d’approximation normale pour $\mathit{W}={\mathit{n}}^{-1/2}{\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}$ avec une dépendance explicite de la dimension d. Plus précisément, sans aucune restriction sur Σ, nous montrons que l’erreur d’approximation sur des rectangles dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ est bornée par $\mathit{C}{({log}^{13}(\mathit{d}\mathit{n})/\mathit{n})}^{1/2}$ pour une constante universelle C. De plus, si la conjecture du trou spectral de Kannan–Lovász–Simonovits (KLS) est vraie, cette borne peut être améliorée à $\mathit{C}{({log}^3(\mathit{d}\mathit{n})/\mathit{n})}^{1/2}$. Cette borne améliorée est optimale en termes de n et de d dans le régime $log\mathit{n}=\mathit{O}(log\mathit{d})$. Nous donnons également des bornes p-Wasserstein pour tout $\mathit{p}\ge 1$ ainsi qu’un résultat de déviation modérée de type Cramér pour cette erreur d’approximation normale, et tous sont optimaux sous la conjecture KLS. Pour prouver ces bornes, nous développons une nouvelle inégalité de couplage gaussienne qui donne des bornes presque indépendantes de la dimension pour les versions projetées de la distance p-Wasserstein pour tout $\mathit{p}\ge 1$. Nous prouvons cette inégalité de couplage en combinant la méthode de Stein et la procédure de localisation stochastique d’Eldan.