Scaling limits of random looptrees and bipartite plane maps with prescribed large faces

Abstract

We first rephrase and unify known bijections between bipartite plane maps and labelled trees with the formalism of looptrees, which we argue to be both more relevant and technically simpler since the geometry of a looptree is explicitly encoded by the depth-first walk (or Łukasiewicz path) of the tree, as opposed to the height or contour process for the tree. We then construct continuum analogues associated with any càdlàg path with no negative jump and derive several invariance principles. We especially focus on uniformly random looptrees and maps with prescribed face degrees and study their scaling limits in the presence of macroscopic faces, which complements a previous work in the case of no large faces. The limits (along subsequences for maps) form new families of random metric measured spaces related to processes with exchangeable increments with no negative jumps and our results generalise previous works which concerned the Brownian and stable Lévy bridges.

Nous proposons une reformulation qui unifie des bijections connues entre cartes planes biparties et arbres étiquetés à travers le formalisme des looptrees, pour laquelle nous justifions qu’elle est à la fois plus pertinente mais aussi plus simple d’un point de vue technique puisqu’un looptree est codé explicitement par la marche en profondeur (ou marche de Łukasiewicz) de l’arbre, sans passer par sa fonction de hauteur ou de contour qui est plus difficile à étudier. Nous construisons ensuite des analogues continus à partir de n’importe quelle fonction càdlàg et sans saut négatif et montrons des résultats de limites d’échelle. Nous nous concentrons en particulier sur les looptrees et cartes tirés uniformément au hasard avec des degrés de faces donnés et leurs limites en présence de faces macroscopiques, ce qui vient compléter un travail précédent. Les limites (le long de sous-suite pour les cartes) forment de nouveaux espaces métriques mesurés aléatoires reliés à des processus à accroissements échangeables et nos résultats généralisent de précédents qui portaient sur le cas brownien ou des ponts de processus de Lévy stables.