Random walks on decorated Galton–Watson trees

Abstract

In this article we study a simple random walk on a decorated Galton–Watson tree, obtained from a Galton–Watson tree by replacing each vertex of degree n with an independent copy of a graph ${\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ and gluing the inserted graphs along the tree structure. We assume that there exist constants $\mathit{d},\mathit{R}\ge 1$, $\mathit{v}<\infty$ such that the diameter, effective resistance across and volume of ${\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ respectively grow like ${\mathit{n}}^{\frac{1}{\mathit{d}}}$, ${\mathit{n}}^{\frac{1}{\mathit{R}}}$, ${\mathit{n}}^{\mathit{v}}$ as $\mathit{n}\to \infty$. We also assume that the underlying Galton–Watson tree is critical with offspring tails $\mathit{\xi }(\mathit{x})$ decaying like $\mathit{c}{\mathit{x}}^{-\mathit{\alpha }-1}$ as $\mathit{x}\to \infty$ for some constant c and some $\mathit{\alpha }\in (1,2)$. We establish the fractal dimension, spectral dimension, walk dimension and simple random walk displacement exponent for the resulting metric space as functions of α, d, R and v, along with bounds on the fluctuations of these quantities.

Dans cet article, nous étudions une marche aléatoire simple sur un arbre de Galton–Watson décoré, obtenu à partir d’un arbre de Galton–Watson en remplaçant chaque sommet de degré n par une copie indépendante d’un graphe ${\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ et en collant les graphes insérés le long de la structure de l’arbre. Nous supposons qu’il existe des constantes $\mathit{d},\mathit{R}\ge 1$, $\mathit{v}<\infty$ telles que le diamètre, la résistance effective et le volume de ${\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ croissent respectivement comme ${\mathit{n}}^{\frac{1}{\mathit{d}}}$, ${\mathit{n}}^{\frac{1}{\mathit{R}}}$, ${\mathit{n}}^{\mathit{v}}$ lorsque $\mathit{n}\to \infty$. Nous supposons également que l’arbre de Galton–Watson sous-jacent est critique avec des queues de la loi de reproduction $\mathit{\xi }(\mathit{x})$ qui décroit comme $\mathit{c}{\mathit{x}}^{-\mathit{\alpha }-1}$ lorsque $\mathit{x}\to \infty$, pour une certaine constante c et $\mathit{\alpha }\in (1,2)$. Nous établissons la dimension fractale, la dimension spectrale, la dimension de la marche et l’exposant de déplacement de la marche aléatoire simple pour l’espace métrique obtenu en fonction de α, d, R et v, ainsi que des bornes sur les fluctuations de ces quantités.