Quadratic variations for Gaussian isotropic random fields on the sphere

Abstract

In this paper we define (empirical) quadratic variations for a Gaussian isotropic random field f on the unit sphere as sums over equidistant increments on one single geodesic line on the surface of the sphere. We prove a noncentral limit theorem for a fixed Fourier component of such a field as well as quantitative central limit theorems in the increasing frequency regime. Based on these results we propose estimators of the angular power spectrum and study their properties. Moreover, we show a quantitative central limit theorem for quadratic variations over the field f and construct an estimator for the Hurst parameter of a ${\mathit{L}}^2({\mathbb{S}}^2)$-valued fractional Brownian motion.

Dans cet article, nous définissons les variations quadratiques (empiriques) pour un champ aléatoire isotrope gaussien f sur la sphère unitaire comme des sommes sur des incréments équidistants au carré sur une seule ligne géodésique sur la surface de la sphère. Nous prouvons un théorème limite non central pour une composante de Fourier fixe d’un tel champ ainsi que des théorèmes limites centraux quantitatifs dans le régime de fréquence croissante. Sur la base de ces résultats, nous proposons des estimateurs du spectre de puissance angulaire et étudions leurs propriétés. De plus, nous montrons un théorème central limite quantitatif pour les variations quadratiques sur le champ f et construisons un estimateur pour le paramètre de Hurst d’un mouvement Brownien fractionnaire à valeurs dans ${\mathit{L}}^2({\mathbb{S}}^2)$.