August 2024 Phase transition for extremes of a family of stationary multiple-stable processes
Shuyang Bai, Yizao Wang
Author Affiliations +
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60(3): 2157-2193 (August 2024). DOI: 10.1214/23-AIHP1383

Abstract

We investigate a family of stationary processes that may exhibit either long-range or short-range dependence, depending on the parameters. The processes can be represented as multiple stable integrals, and there are two parameters for the processes, the memory parameter β(0,1) and the multiplicity parameter pN. We investigate the macroscopic limit of extremes of the process, in terms of convergence of random sup-measures, for the full range of parameters. Our results show that (i) the extremes of the process exhibit long-range dependence when βp:=pβp+1(0,1), with a new family of random sup-measures arising in the limit, (ii) the extremes are of short-range dependence when βp<0, with independently scattered random sup-measures arising in the limit, and (iii) there is a delicate phase transition at the critical regime βp=0.

Nous étudions une famille de processus stationnaires qui peuvent présenter, en fonction des paramètres, soit une dépendance à longue portée, soit à courte portée. Ces processus peuvent s’écrire comme intégrales stables multiples reposant sur deux paramètres : le paramètre de mémoire β(0,1) et le paramètre de multiplicité pN. Nous étudions la limite macroscopique pour les valeurs extrêmes de ces processus en termes de convergence des sup-mesures aléatoires associées et pour l’ensemble des paramètres possibles. Notre résultat montre que : (i) Les valeurs extrêmes ont un comportement de dépendance à longue portée quand βp:=pβp+1(0,1) et une nouvelle famille de sup-mesures aléatoires apparaît alors à la limite ; (ii) Les valeurs extrêmes ont un comportement de dépendance à courte portée quand βp<0 et la limite est une sup-mesure aléatoire dispersée indépendamment ; (iii) Il y a une transition de phase délicate à appréhender au régime critique βp=0.

Funding Statement

The second author was partially supported by Army Research Office, USA (W911NF-20-1-0139).

Acknowledgements

The authors would like to thank Larry Goldstein, Takashi Owada and Gennady Samorodnitsky for very helpful discussions. The authors would like to thank an anonymous referee for the critical and yet constructive report that has helped us significantly during the revision.

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Shuyang Bai. Yizao Wang. "Phase transition for extremes of a family of stationary multiple-stable processes." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60 (3) 2157 - 2193, August 2024. https://doi.org/10.1214/23-AIHP1383

Information

Received: 14 April 2022; Revised: 22 February 2023; Accepted: 28 February 2023; Published: August 2024
First available in Project Euclid: 31 July 2024

Digital Object Identifier: 10.1214/23-AIHP1383

Subjects:
Primary: 60F17 , 60G70
Secondary: 60G52 , 60K05

Keywords: Infinite ergodic theory , long-range dependence , multiple integral , phase transition , random sup-measure , regular variation , Renewal process , stable regenerative set

Rights: Copyright © 2024 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré

Vol.60 • No. 3 • August 2024
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