Phase transition for extremes of a family of stationary multiple-stable processes

Abstract

We investigate a family of stationary processes that may exhibit either long-range or short-range dependence, depending on the parameters. The processes can be represented as multiple stable integrals, and there are two parameters for the processes, the memory parameter $\mathit{\beta }\in (0,1)$ and the multiplicity parameter $\mathit{p}\in \mathbb{N}$. We investigate the macroscopic limit of extremes of the process, in terms of convergence of random sup-measures, for the full range of parameters. Our results show that (i) the extremes of the process exhibit long-range dependence when ${\mathit{\beta }}_{\mathit{p}}:=\mathit{p}\mathit{\beta }-\mathit{p}\mathbf{+}1\in (0,1)$, with a new family of random sup-measures arising in the limit, (ii) the extremes are of short-range dependence when ${\mathit{\beta }}_{\mathit{p}}<0$, with independently scattered random sup-measures arising in the limit, and (iii) there is a delicate phase transition at the critical regime ${\mathit{\beta }}_{\mathit{p}}=0$.

Nous étudions une famille de processus stationnaires qui peuvent présenter, en fonction des paramètres, soit une dépendance à longue portée, soit à courte portée. Ces processus peuvent s’écrire comme intégrales stables multiples reposant sur deux paramètres : le paramètre de mémoire $\mathit{\beta }\in (0,1)$ et le paramètre de multiplicité $\mathit{p}\in \mathbb{N}$. Nous étudions la limite macroscopique pour les valeurs extrêmes de ces processus en termes de convergence des sup-mesures aléatoires associées et pour l’ensemble des paramètres possibles. Notre résultat montre que : (i) Les valeurs extrêmes ont un comportement de dépendance à longue portée quand ${\mathit{\beta }}_{\mathit{p}}:=\mathit{p}\mathit{\beta }-\mathit{p}\mathbf{+}1\in (0,1)$ et une nouvelle famille de sup-mesures aléatoires apparaît alors à la limite ; (ii) Les valeurs extrêmes ont un comportement de dépendance à courte portée quand ${\mathit{\beta }}_{\mathit{p}}<0$ et la limite est une sup-mesure aléatoire dispersée indépendamment ; (iii) Il y a une transition de phase délicate à appréhender au régime critique ${\mathit{\beta }}_{\mathit{p}}=0$.