Hydrodynamic behavior of long-range symmetric exclusion with a slow barrier: Diffusive regime

Abstract

In this article we analyse the hydrodynamical behavior of the symmetric exclusion process with long jumps and in the presence of a slow barrier. The jump rates for fast bonds are given by a transition probability $\mathit{p}(·)$ which is symmetric and has finite variance, while for slow bonds the jump rates are given by $\mathit{p}(·)\mathit{\alpha }{\mathit{n}}^{-\mathit{\beta }}$ (with $\mathit{\alpha }>0$ and $\mathit{\beta }\ge 0$), and correspond to some of the jumps between ${\mathbb{Z}}_{-}^{\ast }$ and $\mathbb{N}$. We prove that: if there is a fast bond from ${\mathbb{Z}}_{-}^{\ast }$ and $\mathbb{N}$, then the hydrodynamic limit is given by the heat equation with no boundary conditions; otherwise, it is given by the previous equation if $0\le \mathit{\beta }<1$, but for $\mathit{\beta }\ge 1$ boundary conditions appear, namely, we get Robin (linear) boundary conditions if $\mathit{\beta }=1$ and Neumann boundary conditions if $\mathit{\beta }>1$.

Dans cet article, nous analysons le comportement hydrodynamique du processus d’exclusion symétrique avec des longs sauts et en présence d’une barrière lente. Les taux de saut pour les liens rapides sont donnés par une probabilité de transition $\mathit{p}(·)$ qui est symétrique et a une variance finie, tandis que pour les liens lents, les taux de saut sont donnés par $\mathit{p}(·)\mathit{\alpha }{\mathit{n}}^{-\mathit{\beta }}$ (avec $\mathit{\alpha }>0$ et $\mathit{\beta }\ge 0$), et correspondent à certains des sauts entre ${\mathbb{Z}}_{-}^{\ast }$ et $\mathbb{N}$. Nous prouvons que : s’il existe un lien rapide entre ${\mathbb{Z}}_{-}^{\ast }$ et $\mathbb{N}$, alors la limite hydrodynamique est donnée par l’équation de la chaleur sans conditions aux limites ; sinon, elle est donnée par l’équation précédente si $0\le \mathit{\beta }<1$, mais pour $\mathit{\beta }\ge 1$ des conditions aux limites apparaissent, à savoir, on obtient des conditions aux limites de Robin (linéaires) si $\mathit{\beta }=1$ et des conditions aux limites de Neumann si $\mathit{\beta }>1$.