Cramér’s moderate deviations for martingales with applications

Abstract

Let ${({\mathit{\xi }}_{\mathit{i}},{\mathcal{F}}_{\mathit{i}})}_{\mathit{i}\ge 1}$ be a sequence of martingale differences. Set ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}={\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{\xi }}_{\mathit{i}}$ and ${⟨\mathit{X}⟩}_{\mathit{n}}={\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\mathbf{E}({\mathit{\xi }}_{\mathit{i}}^2|{\mathcal{F}}_{\mathit{i}-1})$. We prove Cramér’s moderate deviation expansions for $\mathbf{P}({\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{{⟨\mathit{X}⟩}_{\mathit{n}}}\ge \mathit{x})$ and $\mathbf{P}({\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{\mathbf{E}{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^2}\ge \mathit{x})$ as $\mathit{n}\to \infty$. Our results extend the classical Cramér result to the cases of normalized martingales ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{{⟨\mathit{X}⟩}_{\mathit{n}}}$ and standardized martingales ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{\mathbf{E}{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^2}$, with martingale differences satisfying the conditional Bernstein condition. Applications to elephant random walks and autoregressive processes are also discussed.

Soit ${({\mathit{\xi }}_{\mathit{i}},{\mathcal{F}}_{\mathit{i}})}_{\mathit{i}\ge 1}$ une suite de différences de martingale. Soient ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}={\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{\xi }}_{\mathit{i}}$ et ${⟨\mathit{X}⟩}_{\mathit{n}}={\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\mathbf{E}({\mathit{\xi }}_{\mathit{i}}^2|{\mathcal{F}}_{\mathit{i}-1})$. Nous prouvons les développements de déviation modérée de Cramér pour $\mathbf{P}({\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{{⟨\mathit{X}⟩}_{\mathit{n}}}\ge \mathit{x})$ et $\mathbf{P}({\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{\mathbf{E}{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^2}\ge \mathit{x})$ lorsque $\mathit{n}\to \infty$. Nos résultats étendent le résultat classique de Cramér aux cas des martingales normalisées ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{{⟨\mathit{X}⟩}_{\mathit{n}}}$ et des martingales standardisées ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}/\sqrt{\mathbf{E}{\mathit{X}}_{\mathit{n}}^2}$, où les différences de martingale vérifient la condition de Bernstein conditionnelle. Des applications aux marches aléatoires des éléphants et aux processus autorégressifs sont également discutées.