About an extension of the Matsumoto–Yor property

Abstract

We prove that if $\mathit{\alpha },\mathit{\beta }>0$ are distinct and if A and B are independent non-degenerate positive random variables then

$$\mathit{S}=\frac{1}{\mathit{B}}\frac{\mathit{\beta }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}{\mathit{\alpha }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}\text{and}\mathit{T}=\frac{1}{\mathit{A}}\frac{\mathit{\beta }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}{\mathit{\alpha }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}$$

are independent if and only if A and B have generalized inverse Gaussian distributions (GIG) with suitable parameters. Essentially, this has already been proved in Bao and Noack (2021) with a supplementary hypothesis on the existence of smooth densities.

The motivation of this work comes from an observation about independence properties of the exponential Brownian motion due to Matsumoto and Yor (Nagoya Math. J. 162 (2001) 65–86) and a recent work of Croydon and Sasada (2020) on random recursion models rooted in the discrete Korteweg–de Vries equation, where the above result was conjectured.

We also extend the result to random matrices, proving that a matrix-variate analogue of the above independence property is satisfied by independent matrix-variate GIG variables. The question of characterization of GIG random matrices through this independence property remains open.

Soit $\mathit{\alpha }\ne \mathit{\beta }$ deux nombres strictement positifs et soit A et B deux variables aléatoires positives non dégénérées telles que

$$\mathit{S}=\frac{1}{\mathit{B}}\frac{\mathit{\beta }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}{\mathit{\alpha }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}\text{and}\mathit{T}=\frac{1}{\mathit{A}}\frac{\mathit{\beta }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}{\mathit{\alpha }\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}}$$

soient indépendantes. Nous montrons que cela entraine que A et B suivent des lois gaussiennes inverses généralisées avec des paramètres convenables. Ce fait a déjà été montré par Bao et Noack (2021), mais avec de fortes hypothèses d’existence de densités différentiables.

Les sources de ces questions sont d’abord l’observation d’une propriété d’indépendance du mouvement brownien exponentiel faite par Matsumoto et Yor (Nagoya Math. J. 162 (2001) 65–86), et ensuite un récent travail de Croydon et Sasada (2020) sur des modèles récursifs issus de l’équation de Korteweg–de Vries discrète, où les auteurs conjecturent le résultat ci-dessus.

Le résultat direct est aussi étendu aux matrices définies positives en montrant qu’une généralisation de la propriété ci-dessus d’indépendance est satisfaite par des matrices suivant des lois GIG. La question de la caractérisation des lois GIG pour des matrices par cette propriété est toutefois ouverte.