Random walks in Dirichlet environments on Z with bounded jumps

Abstract

We examine a class of random walks in random environments on $\mathbb{Z}$ with bounded jumps, a generalization of the classic one-dimensional model. The environments we study have i.i.d. transition probability vectors drawn from Dirichlet distributions. For the transient case of this model, we characterize ballisticity—nonzero limiting velocity. We do this in terms of two parameters, ${\mathit{\kappa }}_0$ and ${\mathit{\kappa }}_1$. The parameter ${\mathit{\kappa }}_0$ governs finite trapping effects. The parameter ${\mathit{\kappa }}_1$, which already is known to characterize directional transience, also governs repeated traversals of arbitrarily large regions of the graph. We show that the walk is ballistic if and only if $min({\mathit{\kappa }}_0,|{\mathit{\kappa }}_1|)>1$. We prove some stronger results regarding moments of the quenched Green function and other functions that the quenched Green function dominates. These results help us to better understand the phenomena and parameters affecting ballisticity.

Nous considérons une classe de marches aléatoires dans des environnements aléatoires sur $\mathbb{Z}$ avec des sauts bornés, une généralisation du modèle classique unidimensionnel. Les environnements que nous étudions ont des vecteurs de probabilité de transition i.i.d. tirés selon des lois de Dirichlet. Pour le cas transient de ce modèle, nous caractérisons la balisticité (vitesse limite non nulle). Nous le faisons en fonction de deux paramètres, ${\mathit{\kappa }}_0$ et ${\mathit{\kappa }}_1$. Le paramètre ${\mathit{\kappa }}_0$ régit les effets de pièges finis. Le paramètre ${\mathit{\kappa }}_1$, qui est déjà connu pour caractériser la transience directionnelle, contrôle également les traversées répétées de régions arbitrairement grandes du graphe. Nous montrons que la marche est balistique si et seulement si $min({\mathit{\kappa }}_0,{\mathit{\kappa }}_1)>1$. Nous prouvons des résultats plus forts concernant les moments de la fonction de Green et d’autres fonctions que la fonction de Green domine. Ces résultats nous aident à mieux comprendre les phénomènes et les paramètres qui influent sur la balisticité.