Random sorting networks: Edge limit

Abstract

A sorting network is a shortest path from $12\dots \mathit{n}$ to $\mathit{n}\dots 21$ in the Cayley graph of the symmetric group ${\mathfrak{S}}_{\mathit{n}}$ spanned by adjacent transpositions. The paper computes the edge local limit of the uniformly random sorting networks as $\mathit{n}\to \infty$. We find the asymptotic distribution of the first occurrence of a given swap $(\mathit{k},\mathit{k}\mathbf{+}1)$ and identify it with the law of the smallest positive eigenvalue of a $2\mathit{k}\times 2\mathit{k}$ aGUE (an aGUE matrix has purely imaginary Gaussian entries that are independently distributed subject to skew-symmetry). Next, we give two different formal definitions of a spacing – the time distance between the occurrence of a given swap $(\mathit{k},\mathit{k}\mathbf{+}1)$ in a uniformly random sorting network. Two definitions lead to two different expressions for the asymptotic laws expressed in terms of derivatives of Fredholm determinants.

Un réseau de tri est un chemin le plus court de $12\dots \mathit{n}$ à $\mathit{n}\dots 21$ dans le graphe de Cayley du groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_{\mathit{n}}$, engendré par des transpositions des éléments adjacents. Dans cet article nous calculons la limite locale au bord des réseaux de tri choisi uniformément quand $\mathit{n}\to \infty$. Nous trouvons la distribution asymptotique de la première occurrence d’une transposition donnée $(\mathit{k},\mathit{k}\mathbf{+}1)$ et l’identifions avec la loi de la plus petite valeur propre positive d’un $2\mathit{k}\times 2\mathit{k}$ aGUE (une matrice aGUE a des entrées gaussiennes purement imaginaires qui sont distribuées indépendamment sous condition d’antisymétrie). Ensuite, nous considerons des espacements entre deux occurrences consecutives d’un échange donné (k, k + 1) pour un réseau de tri aléatoire choisi uniformément. Nous prenons deux formalisations pour un choix aléatoire d’un tel espacement. En passant à limite, ces deux définitions conduisent à deux expressions différentes pour des lois asymptotiques exprimées en termes de dérivées des déterminants de Fredholm.