Matsumoto–Yor and Dufresne type theorems for a random walk on positive definite matrices

Abstract

We establish analogues of the geometric Pitman $2\mathit{M}-\mathit{X}$ theorem of Matsumoto and Yor and of the classical Dufresne identity, for a multiplicative random walk on positive definite matrices with Beta type II distributed increments. The Dufresne type identity provides another example of a stochastic matrix recursion, as considered by Chamayou and Letac (J. Theoret. Probab. 12, 1999), that admits an explicit solution.

Nous établissons des analogues de la version géométrique du théorème 2M-X de Pitman, démontrée par Matsumoto et Yor, et de l’identité de Dufresne classique, pour une marche aléatoire multiplicative sur l’ensemble des matrices définies positives d’incréments distribués selon une loi Bêta II. L’identité de Dufresne proposée fournit un autre exemple de récursion matricielle stochastique, comme l’ont considéré Chamayou et Letac (J. Theoret. Probab. 12, 1999), qui admet une solution explicite.