Linear spectral statistics of sequential sample covariance matrices

Abstract

Let ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_{\mathit{n}}$ denote independent p-dimensional vectors with independent complex or real valued entries such that $\mathbb{E}[{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}]=\mathbf{0}$, $Var({\mathbf{x}}_{\mathit{i}})={\mathbf{I}}_{\mathit{p}}$, $\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{n}$, let ${\mathbf{T}}_{\mathit{n}}$ be a $\mathit{p}\times \mathit{p}$ Hermitian nonnegative definite matrix and f be a given function. We prove that an appropriately standardized version of the stochastic process ${(tr(\mathit{f}({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})))}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$ corresponding to a linear spectral statistic of the sequential empirical covariance estimator

$${({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}={\left(\frac{1}{\mathit{n}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\lfloor \mathit{n}\mathit{t}\rfloor }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}^{\star }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}\right)}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$$

converges weakly to a non-standard Gaussian process for $\mathit{n},\mathit{p}\to \infty$. As an application, we use these results to develop a novel approach for monitoring the sphericity assumption in a high-dimensional framework, even if the dimension of the underlying data is larger than the sample size.

Soient ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_{\mathit{n}}$ des vecteurs p-dimensionnels indépendants aux composantes complexes ou réelles indépendantes tels que $\mathbb{E}[{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}]=\mathbf{0}$, $Var({\mathbf{x}}_{\mathit{i}})={\mathbf{I}}_{\mathit{p}}$, $\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{n}$. Soit ${\mathbf{T}}_{\mathit{n}}$ une matrice hermitienne positive définie d’ordre p et soit f une fonction donnée. Nous démontrons qu’une certaine version normalisée du processus ${(tr(\mathit{f}({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})))}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$ que l’on peut voir comme une statistique spectrale linéaire du processus de covariance empirique

$${({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}={\left(\frac{1}{\mathit{n}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\lfloor \mathit{n}\mathit{t}\rfloor }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}^{\star }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}\right)}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$$

converge faiblement vers un processus gaussien non standard lorsque $\mathit{n},\mathit{p}\to \infty$. Afin d’illustrer l’utilité de ce résultat, nous construisons un nouveau test de sphéricité dans le cadre de données en grande dimension, qui reste valide dans un régime où la dimension des données est supérieure à la taille de l’échantillon.