Large deviations for random matrices in the orthogonal group and Stiefel manifold with applications to random projections of product distributions

Abstract

We prove large deviation principles (LDPs) for random matrices in the orthogonal group and Stiefel manifold, determining both the speed and good convex rate functions that are explicitly given in terms of certain log-determinants of trace-class operators and are finite on the set of Hilbert-Schmidt operators M satisfying $\Vert \mathit{M}{\mathit{M}}^{\ast }\Vert <1$. As an application of those LDPs, we determine the precise large deviation behavior of k-dimensional random projections of high-dimensional product distributions using an appropriate interpretation in terms of point processes, also characterizing the space of all possible deviations. The case of uniform distributions on ${\ell }_{\mathit{p}}$-balls, $1\le \mathit{p}\le \infty$, is then considered and reduced to appropriate product measures. Those applications generalize considerably the recent work (Studia Mathematica 264 (2022) 103–119).

Nous prouvons des principes de grandes déviations (LDPs) pour les matrices aléatoires uniformes sur le groupe orthogonal et les variétés de Stiefel, en déterminant à la fois la vitesse et les bonnes fonctions de taux convexes qui sont explicitement données en termes de certains log-déterminants d’opérateurs à trace, et sont finies sur l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt M satisfaisant $\Vert \mathit{M}{\mathit{M}}^{\ast }\Vert <1$. Comme application de ces LDPs, nous déterminons le comportement précis des grandes déviations des projections aléatoires de dimension k des lois de produit de grande dimension en utilisant une interprétation appropriée en termes de processus ponctuels, caractérisant également l’espace de toutes les déviations possibles. Le cas des lois uniformes sur les boules ${\ell }_{\mathit{p}}$, $1\le \mathit{p}\le \infty$, est ensuite considéré et réduit à des mesures produit appropriées. Ces applications généralisent considérablement les travaux récents (Studia Mathematica 264 (2022) 103–119).