Fractal properties of Aldous–Kendall random metric

Abstract

Investigating a model of scale-invariant random spatial network suggested by Aldous, Kendall constructed a random metric T on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, for which the distance between points is given by the optimal connection time, when travelling on the road network generated by a Poisson process of lines with a speed limit. In this paper, we look into some fractal properties of that random metric. In particular, although almost surely the metric space $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ is homeomorphic to the usual Euclidean ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, we prove that its Hausdorff dimension is given by $(\mathit{\gamma }-1)\mathit{d}/(\mathit{\gamma }-\mathit{d})>\mathit{d}$, where $\mathit{\gamma }>\mathit{d}$ is a parameter of the model; which confirms a conjecture of Kahn. We also find that the metric space $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ equipped with the Lebesgue measure exhibits a multifractal property, as some points have untypically big balls around them.

En étudiant un modèle de “scale-invariant random spatial network” suggéré par Aldous, Kendall a construit une métrique aléatoire T sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, pour laquelle la distance entre les points est donnée par le temps de trajet optimal, lorsqu’on se déplace sur le réseau de routes engendré par un processus de Poisson de droites avec une limitation de vitesse. Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés fractales de cette métrique aléatoire. En particulier, bien que presque sûrement l’espace métrique $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ soit homéomorphe à l’espace euclidien ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, nous montrons que sa dimension de Hausdorff est donnée par $(\mathit{\gamma }-1)\mathit{d}/(\mathit{\gamma }-\mathit{d})>\mathit{d}$, où $\mathit{\gamma }>\mathit{d}$ est un paramètre du modèle ; cela confirme une conjecture de Kahn. Nous montrons par ailleurs que l’espace métrique $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ muni de la mesure de Lebesgue est multifractal, puisque certains points se trouvent être au centre de boules atypiquement grosses.