Fluctuations for mean field limits of interacting systems of spiking neurons

Abstract

We consider a system of N neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. When a neuron spikes, its potential is reset to 0 and all other neurons receive an additional amount $\mathit{h}/\mathit{N}$ of potential, where $\mathit{h}>0$ is some fixed parameter. In between successive spikes, each neuron’s potential follows a deterministic flow with drift b expressing both the attraction to an equilibrium potential and some leakage factors. While the propagation of chaos of the system, as $\mathit{N}\to \infty$, to a limit nonlinear jumping stochastic differential equation has already been established in a series of papers, see (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52 (2016) 1844–1876, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 58 (2022) 343–378), the present paper is devoted to the associated central limit theorem. More precisely we study the measure valued process of fluctuations at scale ${\mathit{N}}^{-1/2}$ of the empirical measures of the membrane potentials, centered around the associated limit. We show that this fluctuation process, interpreted as càdlàg process taking values in a suitable weighted Sobolev space, converges in law to a limit process characterized by a system of stochastic differential equations driven by Gaussian white noise. We complete this picture by studying the fluctuations, at scale ${\mathit{N}}^{-1/2}$, of the membrane potential processes around their associated limit quantities, giving rise to a mesoscopic approximation of the membrane potentials that take into account the correlations within the finite system.

Nous considérons un système de N neurones. Chaque neurone décharge un potentiel d’action à des instants aléatoires, à un taux qui dépend de son potentiel de membrane. Ce potentiel est alors remis à 0, et tous les autres neurones reçoivent une charge supplémentaire de $\mathit{h}/\mathit{N}$, où $\mathit{h}>0$ est un paramètre fixé. Entre deux décharges successives, le potentiel de membrane de chaque neurone est attiré vers un potentiel d’équilibre et évolue selon un flot déterministe avec dérive b. Alors que la propriété de propagation du chaos du système, lorsque $\mathit{N}\to \infty$, vers la solution d’une équation différentielle stochastique non-linéaire à sauts a déjà été établie dans une série d’articles, voir (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52 (2016) 1844–1876, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 58 (2022) 343–378), cet article est consacré à l’étude des fluctuations associées. Plus précisément, nous étudions le processus à valeurs mesures des fluctuations des mesures empiriques, centrées autour de leur limite, et renormalisées par ${\mathit{N}}^{-1/2}$. Nous montrons que ce processus, interprété comme processus càdlàg à valeurs dans un espace de Sobolev convenable, converge en loi vers un processus limite qui est caractérisé par un système d’équations différentielles stochastiques, dirigées par un bruit blanc gaussien. Nous complétons ce résultat par l’étude des fluctuations, à l’échelle ${\mathit{N}}^{-1/2}$, des processus de potentiel de membrane, autour de leurs limites respectives. Nous obtenons ainsi une approximation mésoscopique des processus potentiel de membrane qui tient compte des corrélations présentes dans le système fini.