Convergence of limit shapes for 2D near-critical first-passage percolation

Abstract

We consider Bernoulli first-passage percolation on the triangular lattice in which sites have 0 and 1 passage times with probability p and $1-\mathit{p}$, respectively. For each $\mathit{p}\in (0,{\mathit{p}}_{\mathit{c}})$, let $\mathcal{B}(\mathit{p})$ be the limit shape in the classical “shape theorem”, and let $\mathit{L}(\mathit{p})$ be the correlation length. We show that as $\mathit{p}\uparrow {\mathit{p}}_{\mathit{c}}$, the rescaled limit shape $\mathit{L}{(\mathit{p})}^{-1}\mathcal{B}(\mathit{p})$ converges to a Euclidean disk. This improves a result of Chayes et al. [J. Stat. Phys. 45 (1986) 933–951]. The proof relies on the scaling limit of near-critical percolation established by Garban et al. [J. Eur. Math. Soc. 20 (2018) 1195–1268], and uses the construction of the collection of continuum clusters in the scaling limit introduced by Camia et al. [Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 299 (2019) 44–89].

Nous considérons la percolation de premier passage de Bernoulli sur le réseau triangulaire dans lequel les sites ont des temps de passage de 0 et 1 avec une probabilité de p et $1-\mathit{p}$, respectivement. Pour tout $\mathit{p}\in (0,{\mathit{p}}_{\mathit{c}})$, soit $\mathcal{B}(\mathit{p})$ la forme limite donnée par le “théorème de la forme” classique, et soit $\mathit{L}(\mathit{p})$ la longueur de corrélation. Nous montrons que lorsque $\mathit{p}\uparrow {\mathit{p}}_{\mathit{c}}$, la forme limite renormalisée $\mathit{L}{(\mathit{p})}^{-1}\mathcal{B}(\mathit{p})$ converge vers un disque Euclidien. Ceci améliore un résultat de Chayes et al. [J. Stat. Phys. 45 (1986) 933–951]. La preuve repose sur la limite d’échelle de la percolation presque-critique établie par Garban et al. [J. Eur. Math. Soc. 20 (2018) 1195–1268], et utilise la construction de l’ensemble de clusters dans le continu dans la limite d’échelle introduite par Camia et al. [Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 299 (2019) 44–89].