A central limit theorem for the variation of the sum of digits

Abstract

We prove a Central Limit Theorem for probability measures defined via the variation of the sum-of-digits function, in base $\mathit{b}\ge 2$. For $\mathit{r}\ge 0$ and $\mathit{d}\in \mathbb{Z}$, we consider ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}(\mathit{d})$ as the density of integers $\mathit{n}\in \mathbb{N}$ for which the sum of digits increases by d when we add r to n. We give a probabilistic interpretation of ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ on the probability space given by the group of b-adic integers equipped with the normalized Haar measure. We split the base-b expansion of the integer r into so-called “blocks”, and we consider the asymptotic behaviour of ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ as the number of blocks goes to infinity. We show that, up to renormalization, ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ converges to the standard normal law as the number of blocks of r grows to infinity. We provide an estimate of the speed of convergence. The proof relies, in particular, on a ϕ-mixing process defined on the b-adic integers.

On prouve un Théorème Central Limite pour des mesures de probabilités définies grâce à la variation de la somme des chiffres en base $\mathit{b}\ge 2$. Pour $\mathit{r}\ge 0$ et $\mathit{d}\in \mathbb{Z}$, on considère ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}(\mathit{d})$, la densité des entiers $\mathit{n}\in \mathbb{N}$ pour lesquels la somme des chiffres augmente de d quand on ajoute r à n. On donne une interprétation probabiliste de ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ sur l’espace de probabilités donné par le groupe des entiers b-adiques muni de la mesure de Haar renormalisée. On décompose l’écriture en base b d’un entier r en ce que l’on appelle des “blocs”, et nous considérons le comportement asymptotique de ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ quand le nombre de blocs tend vers l’infini. On montre qu’à renormalisation près, ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ converge vers une loi normale centrée réduite quand le nombre de blocs de r tend vers l’infini. Nous fournissons une estimation de la vitesse de convergence. La preuve repose, entre autres, sur un processus ϕ-mélangeant défini sur les entiers b-adiques.