What does a typical metric space look like?

Abstract

The collection ${\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$ of all metric spaces on n points whose diameter is at most 2 can naturally be viewed as a compact convex subset of ${\mathbb{R}}^{\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{\mathit{n}}{2}\right)}$, known as the metric polytope. In this paper, we study the metric polytope for large n and show that it is close to the cube ${[1,2]}^{\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{\mathit{n}}{2}\right)}\subseteq {\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$ in the following two senses. First, the volume of the polytope is not much larger than that of the cube, with the following quantitative estimates:

$$(\frac{1}{6}\mathbf{+}\mathit{o}(1)){\mathit{n}}^{3/2}\le log\mathrm{Vol}({\mathcal{M}}_{\mathit{n}})\le \mathit{O}\left({\mathit{n}}^{3/2}\right).$$

Second, when sampling a metric space from ${\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$ uniformly at random, the minimum distance is at least $1-{\mathit{n}}^{-\mathit{c}}$ with high probability, for some $\mathit{c}>0$. Our proof is based on entropy techniques. We discuss alternative approaches to estimating the volume of ${\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$ using exchangeability, Szemerédi’s regularity lemma, the hypergraph container method, and the Kővári–Sós–Turán theorem.

La collection ${\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$ de tous les espaces métriques à n points de diamètre au plus 2 peut être vue naturellement comme un convexe compact de ${\mathbb{R}}^{\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{\mathit{n}}{2}\right)}$, appelé le polytope métrique. Dans cet article, nous étudions le polytope métrique lorsque n est grand, et montrons qu’il est proche du cube ${[1,2]}^{\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{\mathit{n}}{2}\right)}\subseteq {\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$ aux deux sens suivants. Tout d’abord, le volume du polytope n’est pas beaucoup plus grand que celui du cube, avec les estimées quantitatives suivantes :

$$(\frac{1}{6}\mathbf{+}\mathit{o}(1)){\mathit{n}}^{3/2}\le log\mathrm{Vol}({\mathcal{M}}_{\mathit{n}})\le \mathit{O}\left({\mathit{n}}^{3/2}\right).$$

Ensuite, lorsqu’on échantillonne uniformément au hasard un espace métrique de ${\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$, la distance minimale est au moins $1-{\mathit{n}}^{-\mathit{c}}$ avec grande probabilité, pour un $\mathit{c}>0$. Notre preuve utilise des techniques d’entropie. Nous discutons également d’autres approches permettant d’estimer le volume de ${\mathcal{M}}_{\mathit{n}}$, utlisant l’échangeabilité, le lemme de régularité de Szemerédi, la méthode des conteneurs d’hypergraphes, et le théorème de Kővári–Sós–Turán.