February 2024 Random field induced order in two dimensions
Nicholas Crawford, Wioletta M. Ruszel
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Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60(1): 242-280 (February 2024). DOI: 10.1214/23-AIHP1378


In this article we prove that a classical XY model subjected to weak i.i.d. random field pointing in a fixed direction exhibits residual magnetic order in Z2 and aligns perpendicular to the random field direction. The paper is a sequel to (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42) where the three-dimensional case was treated. Our approach is based on a multi-scale Peierls contour argument developed in (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42). On the microscopic scale we extract energetic costs from the occurrence of contours, which themselves are defined on a macroscopic scale. The technical challenges in Z2 stem from difficulties controlling the size and roughness of the fluctuation fields which model the short length-scale oscillations of near-optimizers of the random field Hamiltonian.

Dans cet article nous prouvons qu’un modèle XY classique soumis à un faible champ aléatoire i.i.d. pointant dans une direction fixe présente un ordre magnétique résiduel en Z2 et s’aligne perpendiculairement à la direction du champ aléatoire. Cet article est une suite de (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42) où le cas tridimensionnel a été traité. Notre approche est basée sur un argument de contour de Peierls multi-échelle développé dans (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42). À l’échelle microscopique, nous extrayons les coûts énergétiques de l’apparition de contours, eux-mêmes définis à l’échelle macroscopique. Les défis techniques de Z2 proviennent des difficultés à contrôler la taille et la rugosité des champs de fluctuation qui modélisent les oscillations à courte échelle des quasi-optimiseurs de l’hamiltonien avec champ aléatoire.

Funding Statement

N.C. supported by Israel Science Foundation Grant No. 1557/21


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Nicholas Crawford. Wioletta M. Ruszel. "Random field induced order in two dimensions." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60 (1) 242 - 280, February 2024. https://doi.org/10.1214/23-AIHP1378


Received: 14 November 2021; Revised: 13 February 2023; Accepted: 15 February 2023; Published: February 2024
First available in Project Euclid: 3 March 2024

MathSciNet: MR4718381
Digital Object Identifier: 10.1214/23-AIHP1378

Primary: 82D40

Keywords: Mermin-Wagner theorem , Random field , Residual magnetic ordering , Spin-flop transition , XY model

Rights: Copyright © 2024 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré


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Vol.60 • No. 1 • February 2024
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