February 2024 Near-maxima of the two-dimensional discrete Gaussian free field
Marek Biskup, Stephan Gufler, Oren Louidor
Author Affiliations +
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60(1): 281-311 (February 2024). DOI: 10.1214/23-AIHP1418


We consider the Discrete Gaussian Free Field (DGFF) in domains DNZ2 arising, via scaling by N, from nice domains DR2. We study the statistics of the values order logN below the absolute maximum. Encoded as a point process on D×R, the scaled spatial distribution of these near-extremal level sets in DN and the field values (in units of logN below the absolute maximum) tends, as N, in law to the product of the critical Liouville Quantum Gravity (cLQG) ZD and the Rayleigh law. The convergence holds jointly with the extremal process, for which ZD enters as the intensity measure of the limiting Poisson point process, and that of the DGFF itself; the cLQG defined by the limit field then coincides with ZD. While the limit near-extremal process is measurable with respect to the limit continuum GFF, the limit extremal process is not. Our results explain why the various ways to “norm” the lattice cLQG measure lead to the same limit object, modulo overall normalization.

Nous considérons le champ libre gaussien discret (DGFF) dans des domaines DNZ2 qu’on obtient, via une mise à l’échelle par N, à partir de domaines raisonnables DR2. Nous étudions les statistiques des valeurs d’ordre logN en dessous du maximum absolu. Encodés dans un processus ponctuel sur D×R, la distribution spatiale mise à l’échelle de ces ensembles de niveaux proches du maximum sur DN et les valeurs du champ (en unités de logN en dessous du maximum absolu) convergent, pour N, en loi vers le produit de la gravité quantique critique de Liouville (cLQG) ZD et de la loi de Rayleigh. La convergence est valable conjointement avec le processus extrémal, pour lequel ZD représente la mesure d’intensité du processus ponctuel de Poisson qui apparait à la limite, et avec le DGFF lui-même ; le cLQG défini par le champ limite coïncide alors avec ZD. Bien que le processus limite des valeurs proches du maximum soit mesurable par rapport au GFF (continu) limite, le processus limite des valeurs proches du maximum ne l’est pas. Nos résultats expliquent pourquoi les différentes manières de régulariser la mesure cLQG du réseau conduisent au même objet limite, à une normalisation globale près.

Funding Statement

This project has been supported in part by the NSF awards DMS-1712632 and DMS-1954343, ISF grants No. 1382/17 and 2870/21 and BSF award 2018330.
The second author has also been supported in part by a Zeff Fellowship at the Technion, by a Minerva Fellowship of the Minerva Stiftung Gesellschaft für die Forschung mbH and by the DFG (German Research Foundation) grant No. 2337/1-1 (project 432176920).


We are grateful to an anonymous referee for valuable comments.


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Marek Biskup. Stephan Gufler. Oren Louidor. "Near-maxima of the two-dimensional discrete Gaussian free field." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60 (1) 281 - 311, February 2024. https://doi.org/10.1214/23-AIHP1418


Received: 9 September 2021; Revised: 26 March 2023; Accepted: 5 July 2023; Published: February 2024
First available in Project Euclid: 3 March 2024

MathSciNet: MR4718382
Digital Object Identifier: 10.1214/23-AIHP1418

Primary: 60G15 , 60G57 , 60G60 , 60G70

Keywords: Extreme value theory , Gaussian free field , Liouville quantum gravity , Log correlated fields

Rights: Copyright © 2024 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré


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Vol.60 • No. 1 • February 2024
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