Stable Lévy processes in a cone

Abstract

Bañuelos and Bogdan (Potential Anal. 21 (3) (2004) 263–288) and Bogdan et al. (Electron. J. Probab. 23 (2018) 11) analyse the asymptotic tail distribution of the first time a stable (Lévy) process in dimension $\mathit{d}\ge 2$ exits a cone. We use these results to develop the notion of a stable process conditioned to remain in a cone as well as the the notion of a stable process conditioned to absorb continuously at the apex of a cone (without leaving the cone). As self-similar Markov processes, we examine some of their fundamental properties through the lens of its Lamperti–Kiu decomposition. In particular we are interested to understand the underlying structure of the Markov additive process (MAP) that drives such processes. Through the interrogation of the underlying MAP, we are able to provide an answer by example to the open question: If the modulator of a MAP has a stationary distribution, under what conditions does its ascending ladder MAP have a stationary distribution?

With the help of an analogue of the Riesz–Bogdan–Żak transform (cf. Bogdan and Żak (J. Theoret. Probab. 19 (1) (2006) 89–120), Kyprianou (Electron. J. Probab. 21 (2016) 23), Alili et al. (Electron. J. Probab. 22 (2017) 20)) as well as Hunt–Nagasawa duality theory, we show how the two forms of conditioning are dual to one another. Moreover, in the sense of Rivero (Bernoulli 11 (3) (2005) 471–509; Bernoulli 13 (4) (2007) 1053–1070) and Fitzsimmons (Electron. Commun. Probab. 11 (2006) 230–241), we construct the null-recurrent extension of the stable process killed on exiting a cone, showing that it again remains in the class of self-similar Markov processes. Aside from the Riesz–Bogdan–Żak transform and Hunt–Nagasawa duality, an unusual combination of the Markov additive renewal theory of e.g. Alsmeyer (Stochastic Process. Appl. 50 (1) (1994) 37–56) as well as the boundary Harnack principle (see e.g. Electron. J. Probab. 23 (2018) 11) play a central role to the analysis.

In the spirit of several very recent works (see Stochastic Process. Appl. 129 (3) (2019) 954–977; Electron. J. Probab. 21 (2016) 23; Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (1) (2018) 343–362; Potential Anal. 53 (2020) 1347–1375; ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 15 (1) (2018) 617–690; Ann. Probab. 48 (3) (2020) 1220–1265), the results presented here show that previously unknown results of stable processes, which have long since been understood for Brownian motion, or are easily proved for Brownian motion, become accessible by appealing to the properties of the stable process as a self-similar Markov process, combined with its special status as a Lévy processes having semi-tractable potential analysis.

Bañuelos et Bogdan (Potential Anal. 21 (3) (2004) 263–288) et Bogdan et al. (Electron. J. Probab. 23 (2018) 11) ont etudié la queue de distribution du temps pour qu’un processus stable (Lévy) de dimension $\mathit{d}\ge 2$ sorte d’un cône. Nous utilisons ces résultats pour développer le concept de processus stable conditionné à rester dans un cône ainsi que celui du processus stable conditionné à être absorbé continûement au sommet d’un cône (sans sortir de celui-ci). En tant que processus de Markov auto-similaires, nous examinons certaines de leurs propriétés fondamentales en utilisant la décomposition de Lamperti–Kiu. En particulier, nous sommes intéressés à comprendre la structure sous-jacente du processus de Markov additif (Markov Additive Process – MAP) qui dirige des tels processus. En étudiant le MAP sous-jacent, nous sommes en mesure de répondre aux questions ouvertes, telles que : si le modulateur d’un MAP a une distribution stationnaire, dans quelles conditions le processus d’échelle ascendant associé, qui est aussi un MAP, a-t-il une distribution stationnaire ?

À l’aide d’un analogue de la transformation Riesz–Bogdan–Zak (cf. Bogdan and Żak (J. Theoret. Probab. 19 (1) (2006) 89–120), Kyprianou (Electron. J. Probab. 21 (2016) 23), Alili et al. (Electron. J. Probab. 22 (2017) 20)) ainsi que la théorie de la dualité de Hunt–Nagasawa, nous montrons comment les deux formes de conditionnement sont duales l’une de l’autre. De plus, au sens de Rivero (Bernoulli 11 (3) (2005) 471–509 ; Bernoulli 13 (4) (2007) 1053–1070) et Fitzsimmons (Electron. Commun. Probab. 11 (2006) 230–241), nous construisons l’extension nulle-récurrente du processus stable tué à la sortie d’un cône, montrant que celui-ci appartient encore à la classe des processus de Markov auto-similaire. Outre la transformation de Riesz–Bogdan–Zak et la dualité de Hunt–Nagasawa, une combinaison inhabituelle de la théorie du renouvellement Markovien additif, par ex. Alsmeyer (Stochastic Process. Appl. 50 (1) (1994) 37–56), ainsi que le principe de frontière de Harnack (voir par exemple Electron. J. Probab. 23 (2018) 11) jouent un rôle central dans notre analyse.

Dans l’esprit de plusieurs travaux très récents (voir Stochastic Process. Appl. 129 (3) (2019) 954–977 ; Electron. J. Probab. 21 (2016) 23 ; Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (1) (2018) 343–362 ; Potential Anal. 53 (2020) 1347–1375 ; ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 15 (1) (2018) 617–690 ; Ann. Probab. 48 (3) (2020) 1220–1265), les résultats présentés ici montrent que des résultats jusqu’à maintenant inconnus pour les processus stables, deviennent accessibles en faisant appel aux propriétés du processus stable, en tant que processus de Markov auto-similaire, en conjugaison avec le fait qu’il s’agit des processus de Lévy avec une théorie du potentiel accessible. Ces résultats sont peut être bien compris depuis longtemps pour le mouvement Brownien ou bien peuvent être facilement prouvés pour celui-ci, notre approche permets donc de combler cette lacune dans la théorie des processus stables.