Quenched invariance principle for long range random walks in balanced random environments

Abstract

We establish via a probabilistic approach the quenched invariance principle for a class of long range random walks in independent (but not necessarily identically distributed) balanced random environments, with the transition probability from x to y on average being comparable to $|\mathit{x}-\mathit{y}{|}^{-(\mathit{d}+\mathit{\alpha })}$ with $\mathit{\alpha }\in (0,2]$. We use the martingale property to estimate exit time from balls and establish tightness of the scaled processes, and apply the uniqueness of the martingale problem to identify the limiting process. When $\mathit{\alpha }\in (0,1)$, our approach works even for non-balanced cases. When $\mathit{\alpha }=2$, under a diffusive with the logarithmic perturbation scaling, we show that the limit of scaled processes is a Brownian motion.

Nous établissons par une approche probabiliste le principe d’invariance à environnement gelé pour une classe de marches aléatoires à longue distance dans des environnements aléatoires équilibrés indépendants (mais pas nécessairement distribués de manière identique), la probabilité de transition de x à y en moyenne étant comparable à $|\mathit{x}-\mathit{y}{|}^{-(\mathit{d}+\mathit{\alpha })}$ avec $\mathit{\alpha }\in (0,2]$. Nous utilisons la propriété martingale pour estimer le temps de sortie des balles et établir l’étanchéité des processus renormalisés, et appliquer l’unicité du problème de la martingale pour identifier le processus limite. Lorsque $\mathit{\alpha }\in (0,1)$, notre approche fonctionne même pour les cas non équilibrés. Lorsque $\mathit{\alpha }=2$, sous un diffusif à l’échelle de perturbation logarithmique, nous montrons que la limite des processus renormalisés est un mouvement brownien.