Penalising transmission to hubs in scale-free spatial random graphs

Abstract

We study the spread of information in finite and infinite inhomogeneous spatial random graphs. We assume that each edge has a transmission cost that is a product of an i.i.d. random variable L and a penalty factor: edges between vertices of expected degrees ${\mathit{w}}_1$ and ${\mathit{w}}_2$ are penalised by a factor of ${({\mathit{w}}_1{\mathit{w}}_2)}^{\mathit{\mu }}$ for all $\mathit{\mu }>0$. We study this process for scale-free percolation, for (finite and infinite) Geometric Inhomogeneous Random Graphs, and for Hyperbolic Random Graphs, all with power law degree distributions with exponent $\mathit{\tau }>1$. For $\mathit{\tau }<3$, we find a threshold behaviour, depending on how fast the cumulative distribution function of L decays at zero. If it decays at most polynomially with exponent smaller than $(3-\mathit{\tau })/(2\mathit{\mu })$ then explosion happens, i.e., with positive probability we can reach infinitely many vertices with finite cost (for the infinite models), or reach a linear fraction of all vertices with bounded costs (for the finite models). On the other hand, if the cdf of L decays at zero at least polynomially with exponent larger than $(3-\mathit{\tau })/(2\mathit{\mu })$, then no explosion happens. This behaviour is arguably a better representation of information spreading processes in social networks than the case without penalising factor, in which explosion always happens unless the cdf of L is doubly exponentially flat around zero. Finally, we extend the results to other penalty functions, including arbitrary polynomials in ${\mathit{w}}_1$ and ${\mathit{w}}_2$. In some cases the interesting phenomenon occurs that the model changes behaviour (from explosive to conservative and vice versa) when we reverse the role of ${\mathit{w}}_1$ and ${\mathit{w}}_2$. Intuitively, this could corresponds to reversing the flow of information: gathering information might take much longer than sending it out.

Nous étudions la propagation de l’information dans des graphes aléatoires spatiaux finis et infinis. Nous supposons que chaque arête a un coût de transmission qui est un produit d’une variable aléatoire L i.i.d. et d’un facteur de pénalité : les arêtes entre sommets de degrés moyens ${\mathit{w}}_1$ et ${\mathit{w}}_2$ sont pénalisées par un facteur de ${({\mathit{w}}_1{\mathit{w}}_2)}^{\mathit{\mu }}$ pour tout $\mathit{\mu }>0$. Nous étudions ce processus pour la percolation sans échelle, pour des graphes aléatoires géométriques inhomogènes (finis ou non), et pour des graphes aléatoires hyperboliques, tous avec des degrés suivant des lois de puissance d’exposant $\mathit{\tau }>1$. Pour $\mathit{\tau }<3$, nous déterminons un seuil, dépendant de la vitesse à laquelle la fonction de répartition de L tend vers 0 en 0. Si cette vitesse est au plus polynomiale avec exposant plus petit que $(3-\mathit{\tau })/(2\mathit{\mu })$ alors on a l’explosion, au sens où avec probabilité strictement positive, une infinité de sommets peuvent être atteints à coût fini (pour le modèle infini), ou un fraction linéaire de l’ensemble des sommets peut être atteint à coût borné (pour le modèle fini). Par ailleurs, si la vitesse de décroissance en 0 de la fonction de répartition de L est au moins polynomiale avec un exposant plus grand que $(3-\mathit{\tau })/(2\mathit{\mu })$, alors on n’a pas d’explosion. Ce comportement des processus de transmission d’information dans les réseaux sociaux est plus réaliste que dans les modèles sans facteur de pénalisation, où l’explosion a toujours lieu à moins que la fonction de répartition de L n’ait une décroissance en 0 doublement exponentielle.

Enfin, nous étendons ces résultats à d’autres fonctions de pénalité, incluant des polynômes arbitraires en ${\mathit{w}}_1$, ${\mathit{w}}_2$. Dans certains cas, nous observons l’intéressant phénomène que le modèle change de comportement (d’explosif à conservatif et vice-versa) lorsque l’on échange les rôles de ${\mathit{w}}_1$ et ${\mathit{w}}_2$. Intuitivement, cela pourrait correspondre à un retournement du flot d’information : acquérir de l’information peut prendre plus de temps que de l’envoyer.