Multicolour Poisson matching

Abstract

Consider several independent Poisson point processes on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, each with a different colour and perhaps a different intensity, and suppose we are given a set of allowed family types, each of which is a multiset of colours such as red-blue or red-red-green. We study translation-invariant schemes for partitioning the points into families of allowed types. This generalizes the 1-colour and 2-colour matching schemes studied previously (where the sets of allowed family types are the singletons {red-red} and {red-blue} respectively). We characterize when such a scheme exists, as well as the optimal tail behaviour of a typical family diameter. The latter has two different regimes that are analogous to the 1-colour and 2-colour cases, and correspond to the intensity vector lying in the interior and boundary of the existence region respectively.

We also address the effect of requiring the partition to be a deterministic function (i.e. a factor) of the points. Here we find the optimal tail behaviour in dimension 1. There is a further separation into two regimes, governed by algebraic properties of the allowed family types.

Nous considérons plusieurs processus ponctuels de Poisson indépendants sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, chacun d’une couleur différente et possiblement d’une intensité différente, et nous supposons donné un ensemble de type de familles, chacun étant un multi-ensemble de couleurs comme rouge-bleu ou rouge-rouge-bleu. Nous étudions les stratégies invariantes par translations pour partitionner les points en familles de types autorisés. Ceci généralise les stratégies d’appariements à une et deux couleurs étudiés précédemment (où l’ensemble des types de familles autorisés sont les singletons rouge-rouge et rouge- bleu respectivement). Nous caractérisons l’existence de telles stratégies, ainsi que le comportement de la queue de distribution du diamètre d’une famille typique. Il existe différents régimes pour cette dernière ; ceux-ci sont analogues aux cas à un et deux couleurs et correspondent au fait que le vecteur d’intensité se trouve à l’intérieur ou à la frontière de la région d’existence, respectivement.

Nous étudions aussi l’effet d’imposer que la partition soit une fonction déterministe (i.e. un facteur) du nuage de points. Dans ce cas, nous trouvons le comportement de la queue de distribution en dimension 1. On observe une nouvelle séparation en deux régimes, déterminés par des propriétés algébriques des types de familles autorisés.