Infinite-dimensional regularization of McKean–Vlasov equation with a Wasserstein diffusion

Abstract

Much effort has been spent in recent years on restoring uniqueness of McKean–Vlasov SDEs with non-smooth coefficients. As a typical instance, the velocity field b is assumed to be bounded and measurable in its space variable and Lipschitz-continuous with respect to the distance in total variation in its measure variable, as shown e.g. in the works of Jourdain and Mishura-Veretennikov. In contrast with those works, we consider in this paper a Fokker–Planck equation driven by an infinite-dimensional noise, inspired by the diffusion models on the Wasserstein space studied by Konarovskyi and von Renesse. We prove via Girsanov’s Theorem that there exists a unique weak solution to that equation for a drift function that might be only bounded and measurable in its measure argument, provided that a trade-off is respected between the regularity in the finite-dimensional component and the regularity in the measure argument. In this regard, we show that the higher the regularity of b with respect to its space variable is, the lower regularity we have to assume on b with respect to its measure variable in order to restore uniqueness in a weak sense.

Le problème de la restauration de l’unicité des EDS de McKean–Vlasov avec coefficients non réguliers a fait l’objet de beaucoup de contributions ces dernières années. Le champ de vitesse b y est typiquement supposé borné et mesurable en la variable d’espace et lipschitzien par rapport à la distance en variation totale en la variable de mesure, comme par exemple dans les travaux de Jourdain et de Mishura-Veretennikov. Contrairement à ces travaux, nous considérons dans cet article une équation de Fokker–Planck dirigée par un bruit infini-dimensionnel, inspiré par les modèles de processus de diffusion sur l’espace de Wasserstein étudiés par Konarovskyi and von Renesse. Nous prouvons à l’aide du théorème de Girsanov que cette équation admet une unique solution faible lorsque le coefficient de dérive b est uniquement borné et mesurable en la variable de mesure, à condition qu’en contrepartie sa régularité en la variable finie-dimensionelle soit plus élevée. En ce sens, nous montrons ensuite qu’afin d’obtenir la restauration de l’unicité au sens faible, la régularité que nous avons à imposer à b en la variable de mesure est d’autant plus faible que b est plus régulière en espace.