Abstract
We derive uniform concentration inequalities for continuous-time analogues of empirical processes and related stochastic integrals of scalar ergodic diffusion processes. Thereby, we lay the foundation typically required for the study of sup-norm properties of estimation procedures for a large class of diffusion processes. In the classical i.i.d. context, a key device for the statistical sup-norm analysis is provided by Talagrand-type concentration inequalities. Aiming for a parallel substitute in the diffusion framework, we present a systematic, self-contained approach to such uniform concentration inequalities via martingale approximation and moment bounds obtained by the generic chaining method. The developed machinery is of independent probabilistic interest and can serve as a starting point for investigations of other processes such as more general Markov processes, in particular multivariate or discretely observed diffusions. As a first concrete statistical application, we analyse the sup-norm error of estimating the invariant density of an ergodic diffusion via the local time estimator and the classical nonparametric kernel density estimator, respectively.
Nous obtenons des inégalités de concentration uniformes pour des analogues en temps continu de processus empiriques ainsi que pour des intégrales stochastiques de diffusions scalaires ergodiques associées. De ce fait, nous posons les bases requises pour l’étude des propriétés en norme-sup de procédures d’estimation d’une vaste classe de processus de diffusion. Dans le contexte i.i.d. classique, un outil-clé pour l’analyse statistique en norme-sup est celui des inégalités de concentration de type Talagrand. Comme substitut à ces outils dans le cadre des diffusions, nous présentons une approche systématique et auto-contenue à de telles inégalités de concentration uniformes à l’aide d’approximation par martingales et de bornes de moments obtenues par la méthode du chaînage générique. Les outils probabilistes ainsi développés sont d’intérêt indépendant et peuvent servir de point de départ à l’étude d’autres processus tels que des processus de Markov plus généraux, en particulier des diffusions multivariées ou observées en des temps discrets. Comme première application statistique concrète, nous analysons l’erreur en norme-sup dans l’estimation de la densité invariante d’une diffusion ergodique, respectivement par l’estimateur du temps local et par l’estimateur classique non-paramétrique à noyau de la densité.
Citation
Cathrine Aeckerle-Willems. Claudia Strauch. "Concentration of scalar ergodic diffusions and some statistical implications." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (4) 1857 - 1887, November 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1144
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