Stochastic optimal transport with free end time

Abstract

We consider a stochastic transportation problem between two prescribed probability distributions (a source and a target) over processes with general drift dependence and with free end times. First, and in order to establish a dual principle, we associate two equivalent formulations of the primal problem in order to guarantee its convexity and lower semi-continuity with respect to the source and target distributions. We exhibit an equivalent Eulerian formulation, whose dual variational principle is given by Hamilton–Jacobi–Bellman type variational inequalities. In the case where the drift is bounded, regularity results on the minimizers of the Eulerian problem then enable us to prove attainment in the corresponding dual problem. We also address attainment when the drift component of the cost defining Lagrangian L is superlinear $\mathit{L}\approx |\mathit{u}{|}^{\mathit{p}}$ with $1<\mathit{p}<2$, in which case the setting is reminiscent of our approach – in a previous work – on deterministic controlled transport problems with free end time. We finally address criteria under which the optimal drift and stopping time are unique, namely strict convexity in the drift component and monotonicity in time of the Lagrangian.

Nous considérons un problème de transport stochastique entre deux distributions de probabilité prescrites (une source et une cible) sur des processus avec une dépendance générale à la dérivé et avec des temps de fin libres. Premièrement, et afin d’établir un principe dual, nous associons deux formulations équivalentes du problème primal afin de garantir sa convexité et sa semi-continuité inférieure par rapport aux distributions source et cible. Nous présentons une formulation Eulérienne équivalente, dont le principe variationnel dual est donné par des inégalités variationnelles de type Hamilton–Jacobi–Bellman. Dans le cas où la dérivé est bornée, les résultats de régularité sur les minimiseurs du problème Eulérien nous permettent alors de prouver l’atteinte du problème dual correspondant. Nous abordons également la réalisation lorsque la composante de derivé du coût définissant le lagrangien L est $\mathit{L}\approx |\mathit{u}{|}^{\mathit{p}}$ superlinéaire avec $1<\mathit{p}<2$, auquel cas le réglage rappelle notre approche – dans un travail précédent – sur les problèmes de transport contrôlé déterministe avec un temps de fin libre. Nous abordons enfin les critères selon lesquels la dérivé optimale et le temps d’arrêt sont uniques, à savoir la convexité stricte dans la composante de dérivé et la monotonie dans le temps du lagrangien.