Limit law for the cover time of a random walk on a binary tree

Abstract

Let ${\mathcal{T}}_{\mathit{n}}$ denote the binary tree of depth n augmented by an extra edge connected to its root. Let ${\mathcal{C}}_{\mathit{n}}$ denote the cover time of ${\mathcal{T}}_{\mathit{n}}$ by simple random walk. We prove that the sequence of random variables $\sqrt{{\mathcal{C}}_{\mathit{n}}{2}^{-(\mathit{n}+1)}}-{\mathit{m}}_{\mathit{n}}$, where ${\mathit{m}}_{\mathit{n}}$ is an explicit constant, converges in distribution as $\mathit{n}\to \infty$, and identify the limit.

Soit ${\mathcal{T}}_{\mathit{n}}$ l’arbre binaire de profondeur n, augmenté par une arête attachée à la racine. Soit ${\mathcal{C}}_{\mathit{n}}$ le temps de recouvrement de ${\mathcal{T}}_{\mathit{n}}$ par une marche aléatoire simple. Nous montrons que la suite de variables aléatoires $\sqrt{{\mathcal{C}}_{\mathit{n}}{2}^{-(\mathit{n}+1)}}-{\mathit{m}}_{\mathit{n}}$, avec ${\mathit{m}}_{\mathit{n}}$ une constante explicite, converge quand $\mathit{n}\to \infty$. Nous identifions la limite.