Conformal covariance of the Liouville quantum gravity metric for γ∈(0,2)

Abstract

For $\mathit{\gamma }\in (0,2)$, $\mathit{U}\subset C$, and an instance h of the Gaussian free field (GFF) on U, the γ-Liouville quantum gravity (LQG) surface associated with $(\mathit{U},\mathit{h})$ is formally described by the Riemannian metric tensor ${\mathit{e}}^{\mathit{\gamma }\mathit{h}}(\mathit{d}{\mathit{x}}^2+\mathit{d}{\mathit{y}}^2)$ on U. Previous work by the authors showed that one can define a canonical metric (distance function) ${\mathit{D}}_{\mathit{h}}$ on U associated with a γ-LQG surface. We show that this metric is conformally covariant in the sense that it respects the coordinate change formula for γ-LQG surfaces. That is, if U, $\tilde{\mathit{U}}$ are domains, $\mathit{\varphi }:\mathit{U}\to \tilde{\mathit{U}}$ is a conformal transformation, $\mathit{Q}=2/\mathit{\gamma }+\mathit{\gamma }/2$, and $\tilde{\mathit{h}}=\mathit{h}\circ {\mathit{\varphi }}^{-1}+\mathit{Q}log|{({\mathit{\varphi }}^{-1})}^{\prime }|$, then ${\mathit{D}}_{\mathit{h}}(\mathit{z},\mathit{w})={\mathit{D}}_{\tilde{\mathit{h}}}(\mathit{\varphi }(\mathit{z}),\mathit{\varphi }(\mathit{w}))$ for all $\mathit{z},\mathit{w}\in \mathit{U}$. This proves that ${\mathit{D}}_{\mathit{h}}$ is intrinsic to the quantum surface structure of $(\mathit{U},\mathit{h})$, i.e., it does not depend on the particular choice of parameterization.

Pour $\mathit{\gamma }\in (0,2)$, $\mathit{U}\subset C$, et une réalisation h du champ libre gaussien (GFF) sur U, la γ-surface de gravité quantique de Liouville (LQG) associée à $(\mathit{U},\mathit{h})$ est décrite formellement par le tenseur métrique riemannien ${\mathit{e}}^{\mathit{\gamma }\mathit{h}}(\mathit{d}{\mathit{x}}^2+\mathit{d}{\mathit{y}}^2)$ sur U. De précédents travaux des auteurs ont montré que l’on peut définir une métrique (fonction de distance) canonique ${\mathit{D}}_{\mathit{h}}$ sur U associée à une γ-surface LQG. Nous montrons que cette métrique est conformément covariante au sens où elle respecte les formules de changement de variables pour les γ-surfaces LQG. Précisément, si U, $\tilde{\mathit{U}}$ sont des domaines, et $\mathit{\varphi }:\mathit{U}\to \tilde{\mathit{U}}$ est une transformation conforme, en notant $\mathit{Q}=2/\mathit{\gamma }+\mathit{\gamma }/2$ et $\tilde{\mathit{h}}=\mathit{h}\circ {\mathit{\varphi }}^{-1}+\mathit{Q}log|{({\mathit{\varphi }}^{-1})}^{\prime }|$, alors ${\mathit{D}}_{\mathit{h}}(\mathit{z},\mathit{w})={\mathit{D}}_{\tilde{\mathit{h}}}(\mathit{\varphi }(\mathit{z}),\mathit{\varphi }(\mathit{w}))$ pour tout $\mathit{z},\mathit{w}\in \mathit{U}$. Ceci montre que ${\mathit{D}}_{\mathit{h}}$ est une quantité intrinsèque de la structure de surface quantique de $(\mathit{U},\mathit{h})$, au sens où elle ne dépend pas d’un choix particulier de paramétrisation.