Brownian motion on stable looptrees

Abstract

In this article, we introduce Brownian motion on α-stable looptrees using resistance techniques, where $\mathit{\alpha }\in (1,2)$. We prove an invariance principle characterising it as the scaling limit of random walks on discrete looptrees, and prove precise local and global bounds on its heat kernel. We also conduct a detailed investigation of the volume growth properties of stable looptrees, and show that the random volume and heat kernel fluctuations are locally log-logarithmic, and globally logarithmic around leading terms of ${\mathit{r}}^{\mathit{\alpha }}$ and ${\mathit{t}}^{\frac{-\mathit{\alpha }}{\mathit{\alpha }+1}}$ respectively. These volume fluctuations are the same order as for the Brownian continuum random tree, but the upper volume fluctuations (and corresponding lower heat kernel fluctuations) are different to those of stable trees.

Dans cet article, nous introduisons le mouvement brownien sur les arbres à boucles α-stables en utilisant des techniques de réseaux électriques, pour $\mathit{\alpha }\in (1,2)$. Nous démontrons un principe d’invariance énonçant que ce processus est la limite de marches aléatoires sur des arbres à boucles discrets, et nous montrons des bornes précises locales et globales sur son noyau de la chaleur. Nous menons également une étude approfondie des propriétés de croissance de volume des arbres à boucles stables, et montrons que les fluctuations aléatoires de volume et du noyau de la chaleur sont localement en logarithme itéré, et globalement logarithmiques, autour d’un terme dominant de ${\mathit{r}}^{\mathit{\alpha }}$ et ${\mathit{t}}^{\frac{-\mathit{\alpha }}{\mathit{\alpha }+1}}$ respectivement. Ces fluctuations de volume sont du même ordre que pour l’arbre continu aléatoire brownien, mais les bornes supérieures des fluctuations de volume (et les bornes inférieures correspondantes des fluctuations du noyau de la chaleur) sont différentes de celles des arbres stables.