Abstract
There are numerous applications of the classical (deterministic) Gronwall inequality. Recently, Michael Scheutzow discovered a stochastic Gronwall inequality which provides upper bounds for p-th moments, , of the supremum of nonnegative scalar continuous processes which satisfy a linear integral inequality. In this article we complement this with upper bounds for p-th moments, , of the supremum of general Itô processes which satisfy a suitable one-sided affine-linear growth condition. As example applications, we improve known results on strong local Lipschitz continuity in the starting point of solutions of stochastic differential equations (SDEs), on (exponential) moment estimates for SDEs, on strong completeness of SDEs, and on perturbation estimates for SDEs.
La version classique (déterministe) de l’inégalité de Gronwall possède de nombreuses applications. Récemment Michael Scheutzow a proposé une version stochastique de cette inégalité. Cette dernière permet de majorer le moment d’ordre du supremum des processus réels continus qui satisfont une inégalité intégrale linéaire. Dans cet article nous complétons ce résultat. Nous déterminons des majorants pour les moments d’ordre du supremum des processus généraux de Itô qui vérifient une certaine condition de croissance affine. Comme application, nous affinons des résultats existants concernant les équations différentielles stochastiques : lipschitziannité locale uniforme en temps par rapport au point de départ, majorations des moments (exponentiels), existence d’une modification continue par rapport au couple temps-point de départ (i.e. strong completeness), théorie des perturbations.
Acknowledgement
This project has been partially supported by the Deutsche Forschungsgesellschaft (DFG) via RTG 2131 High-dimensional Phenomena in Probability – Fluctuations and Discontinuity.
Citation
Anselm Hudde. Martin Hutzenthaler. Sara Mazzonetto. "A stochastic Gronwall inequality and applications to moments, strong completeness, strong local Lipschitz continuity, and perturbations." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (2) 603 - 626, May 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1064
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