The infinite Atlas process: Convergence to equilibrium

Abstract

The semi-infinite Atlas process is a one-dimensional system of Brownian particles, where only the leftmost particle gets a unit drift to the right. Its particle spacing process has infinitely many stationary measures, with one distinguished translation invariant reversible measure. We show that the latter is attractive for a large class of initial configurations of slowly growing (or bounded) particle densities. Key to our proof is a new estimate on the rate of convergence to equilibrium for the particle spacing in a triangular array of finite, large size systems.

Let modèle de Atlas demi-infini est un système unidimensional des particules Browniens, où seulement la particule plus à gauche a une vitesse positive. Le processus d’incréments correspondant a une infinité des mesures invariantes, avec une mesure distinguée, reversible et invariante par translations. On montre que cette mesure attire une grande classe des configurations initiales avec densité bornée ou à croissance modérée. Central à notre preuve est une nouvelle estimation de la vitesse de convergence vers l’équilibre du processus d’incréments dans un tableau triangulaire de systèmes finis et de grande taille.