Conjecture de Shafarevitch effective pour les revêtements cycliques

Abstract

On donne une borne supérieure explicite en fonction de $K$, $S$, $g$ pour la hauteur de Faltings de la jacobienne d’une courbe $C$ de genre $g$, définie sur un corps de nombres $K$ et ayant bonne réduction en dehors d’un ensemble fini $S$ de places de $K$, pourvu que $C$ puisse s’écrire comme un revêtement cyclique de degré premier de la droite projective. La preuve repose sur le fait que les birapports des points de branchement du revêtement sont des $S$-unités, donc de hauteur bornée, et donnent un modèle plan de $C$.

We give an explicit upper bound in terms of $K$, $S$, $g$ for the Faltings height of the jacobian of a curve $C$ of genus $g$, defined over a number field $K$ and with good reduction outside a finite set $S$ of places of $K$ under the condition that $C$ can be written as a cyclic cover of prime order of the projective line. The proof rests on the fact that the cross ratios of the branch points of the cover are $S$-units, thus of bounded height, and give a plane model of $C$.