Sur le groupe de Chow de codimension deux des variétés sur les corps finis

Abstract

En utilisant la construction de Colliot-Thélène et Ojanguren, on donne un exemple d’une variété projective et lisse géométriquement rationnelle $X$, définie sur un corps fini $\mathbb{F}{}_p$, telle que d’une part le groupe $H_{nr}^3\left(X,\mathbb{Z}∕2\right)$ est non nul et, d’autre part, l’application $C{H}^2\left(X\right)\to C{H}^2{\left(X{\times }_{\mathbb{F}{}_p}\bar{\mathbb{F}}{}_p\right)}^{Gal\left(\bar{\mathbb{F}}{}_p∕\mathbb{F}{}_p\right)}$ n’est pas surjective.

Using a construction of Colliot-Thélène and Ojanguren, we exhibit an example of a smooth projective geometrically rational variety $X$ defined over a finite field $\mathbb{F}{}_p$, such that the group $H_{nr}^3\left(X,\mathbb{Z}∕2\right)$ is nonzero and the map $C{H}^2\left(X\right)\to C{H}^2{\left(X{\times }_{\mathbb{F}{}_p}\bar{\mathbb{F}}{}_p\right)}^{Gal\left(\bar{\mathbb{F}}{}_p∕\mathbb{F}{}_p\right)}$ is not surjective.