Daniel Ferrand, Ofer Gabber

Algebra Number Theory 16 (3), 521-565, (2022) DOI: 10.2140/ant.2022.16.521
KEYWORDS: étale envelope, connected component, clopen subsets of a scheme, 14A15, 14A20

Pour un morphisme $T\to S$, plat et de présentation finie, l’enveloppe étale — un avatar du ${\pi}_{0}(T\u2215S)$ — peut ne pas exister ; par contre l’enveloppe étale *séparée*, i.e., celle qui est universelle pour les schémas étales et *séparés* sur $S$, existe dès que $S$ est localement connexe. On la note $T\to {\pi}^{s}(T\u2215S)$ ; c’est le quotient de $T$ par la relation d’équivalence minimale à graphe ouvert et fermé dans $T{\times}_{S}T$ ; cette construction permet de démontrer qu’un morphisme *fpqc* de changement de base ${S}^{\prime}\to S$ induit un isomorphisme ${\pi}^{s}({S}^{\prime}{\times}_{S}T\u2215{S}^{\prime})\to {S}^{\prime}{\times}_{S}{\pi}^{s}(T\u2215S)$ si ses fibres géométriques sont connexes. Par ailleurs, lorsque $S$ est normal, disons intègre, et que le morphisme $T\to S$ est normal, on dispose d’un isomorphisme ${\pi}^{s}({T}_{\xi}\u2215\xi )\simeq {\pi}^{s}{(T\u2215S)}_{\xi}$ ; il permet d’étendre à des morphismes normaux des résultats connus sur un corps de base. Toujours sous des hypothèses de normalité, le morphisme canonique ${\pi}_{0}(T\u2215S)\to {\pi}^{s}(T\u2215S)$ fait apparaître le schéma ${\pi}^{s}$ comme l’enveloppe séparée de l’espace algébrique ${\pi}_{0}$.

For a flat morphism $T\to S$ of finite presentation, the étale envelope — an avatar of ${\pi}_{0}(T\u2215S)$ — may fail to exist; but, the *separated* étale envelope, i.e., the one which is universal for the *separated* étale $S$-schemes only, is shown to exist as soon as $S$ is locally connected; denoted ${\pi}^{s}(T\u2215S)$, it is the quotient of $T$ by the equivalence relation which is minimal among those with clopen graph in $T{\times}_{S}T$; from that we prove that, for a *fpqc* base change ${S}^{\prime}\to S$, the morphism ${\pi}^{s}({S}^{\prime}{\times}_{S}T\u2215{S}^{\prime})\to {S}^{\prime}{\times}_{S}{\pi}^{s}(T\u2215S)$ is an isomorphism if the geometric fibres of ${S}^{\prime}\to S$ are connected. When $S$ is integral with generic point $\xi $, and if both $S$ and the morphism $T\to S$ are normal, then one gets the isomorphism ${\pi}^{s}({T}_{\xi}\u2215\xi )\simeq {\pi}^{s}{(T\u2215S)}_{\xi}$, on the strength of which one can often extend to $S$ results previously proven when the base is a field.