Existence of optimal controls for systems governed by mean-field stochastic differential equations

Abstract

In this paper, we study the existence of an optimal control for systems, governed by stochastic differential equations of mean-field type. For non linear systems, we prove the existence of an optimal relaxed control, by using tightness techniques and Skorokhod selection theorem. The optimal control is a measure valued process defined on another probability space. In the case where the coefficients are linear maps and the cost functions are convex, we prove by using weak convergence techniques, the existence of an optimal strict control, adapted to the initial filtration.

Dans cet article on s'intéresse à l'existence d'un contrôle optimal, pour des systèmes gouvernés par des équations différentielles stochastiques de type champ moyen. Pour les systèmes non linéaires, on démontre un résultat d'existence d'un contrôle optimal relaxé, en utilisant des techniques de tension et le théorème de sélection de Skorokhod. Le contrôle optimal obtenu est un processus à valeurs mesures, défini sur un autre espace de probabilité. Dans le cas où les coefficients sont linéaires et les fonctions de coût sont convexes, on démontre en utilisant des techniques de convergence faible, l'existence d'un contrôle optimal strict, adapté à la filtration initiale.