Bemerkungen zur numerischen Behandlung des Dirichletschen Problems für allgemeinere Ränder

Abstract

Durch Doppelreihenentwicklung nach Legendreschen Polynomen wird die Lösung des Dirichletschen Problems mittels Picard-Iteration für einen beliebigen symmetrischen oder unsymmetrischen Rand numerisch durchgeführt. Für die erste Näherung der Lösung werden die Randwerte auf eine die Randkurve möglichst eng umschliessende Ellipse übertragen. Diese erste Näherung wird korrigiert durch Addition von Lösungen der homogen gemachten Differentialgleichung (Laplacesche Differentialgleichung), die den Fehler längs der Randkurve nach der Methode der kleinsten Quadrate zueinem Minimum machen. Die Berechnung dieser Korrektur wird besonders einfach im Falle eines achsensymmetrischen Randes. Ein Beispiel erläutert das Vorgehen.