Sur le volume arithmétique sur les schémas torique lisses

Abstract

Soit $X$ un schéma torique projective lisse sur $Spec\left(\mathbb{Z}\right)$. Si $\overline{D}$ est un fibré en droites équivariant sur $X$, muni d’une métrique continue et invariante par l’action du tore compact de $X\left(\mathbb{C}\right)$, nous montrons que son volume arithmétique s’exprime en fonction de la transformée de Fenchel–Legendre associée à sa métrique. Lorsque $\overline{D}$ est en plus admissible, nous montrons que le fait que $\overline{D}$ soit arithmétiquement ample, nef, ou gros est caractérisé par des objets issus de la géométrie convexe.

Let $X$ be a smooth projective toric scheme over $Spec\left(\mathbb{Z}\right)$. Let $\overline{D}$ be an equivariant line bundle on $X$, endowed with a continuous Hermitian metric which is invariant by the action of the compact torus of $X\left(\mathbb{C}\right)$. We show that its arithmetic volume is given in terms of the Legendre–Fenchel transform associated to the metric. When $\overline{D}$ is supposed admissible, we characterize when it is arithmetically ample, nef, or big in terms of combinatorial date.